רוי:פי

פי איז גלייך צום ארומנעם פון א קרייז מיט דיאמעטער 1 (און ראדיוס ½)

דער גריכישער אות פי

$\pi$ (דער גריכישער אות פי) איז א מאטעמאטישער קאנסטאנט, א רעאלע צאל וואס איר ווערט איז די פראפארציע (אין אוקלידישער געאמעטריע) צווישן דעם ארומנעם פון א קרייז צו זיין דיאמעטער. מען ניצט π ווייל ער איז דער ערשטער אות פונעם גריכישן ווארט "περίμετρος" (פערימעטראס) וואס מיינט ארומנעם.

די ערשטע 50 ציפערן אין דער אומענדיקער דעצימאלער רעפרעזענטאציע פון $\pi$ זענען: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

דאס איז א אומראציאנעלער נומער, ד. ה. אז עס איז נישט מעגליך צו דאס ארויסברענגען ווי א פראפארציע פון צוויי גאנצע נומערן. דאס האט לאמבערט דערוויזן אין יאר 1761. אבער, מען רעפרעזענטירט $\pi$ ווי א פראקציע, למשל 22/7.

אין יאר 1882 האט פערדינאנד לינדעמאן באוויזן דעם לינדעמאן־ווייערשטראס טעארעם פון וואס עס ווערט געדרונגען אז $\ \pi$ איז א טראנסצענדענטישע צאל.^[1] פון דעם באווייז קומט אויס אז מען קען נישט ווייזן $\ \pi$ מיט אן ענדלעכע צאל פון גאנצע צאלן, ברוכצאלן, אדער זייערע ווארצלען, צוזאמען מיט די פיר הויפט־פעולות פון חשבון. איין רעזולטאט פון דעם טעארעם איז אז מען קען נישט, ניצנדיק א ווירע און א צירקל, שאפן א קוואדראט מיט דעם גלייכן שטח ווי א געוויסער קרייז, איינער פון די קלאסישע פראבלעמען פון מאטעמאטיק.

ווייל די עלעמענטארסטע דעפיניציע פון $\ \pi$ האט א שייכות מיט דעם קרייז, געפינט זיך $\ \pi$ אין עטליכע פארמלען אין טריגאנאמעטריע און געאמעטריע, ספעציעל די וואס האבן צו טון מיט קרייזן, עליפסן און קיילעכן. אין מער מאדערנעם מאטעמאטישן אנאליז, ווערט דער דעפינירט אנדערש ניצנדיק די ספעקטראלע אייגנשאפטן פון דער רעאלע צאל סיסטעם, ווי אן אייגנווערט אדער פעריאד, אן קיין שום רעפערענץ צו געאמעטריע. דערפאר באווייזט זיך $\ \pi$ אין טיילן פון מאטעמאטיק און וויסנשאפטן וואס קיין שייכות נישט מיט דער געאמעטריע פון קרייזן, ווי למשל נומערן טעאריע און סטאטיסטיק, ווי אויך אין כמעט אלע געביטן פון פיזיק. צוליב דער אומעטומקייט פון $\ \pi$ איז ער איינער פון די מערסט באוואוסטע מאטעמאטישע קאנסטאנטן סיי אינערהאלב סיי אינדרויסן פון דער וויסנשאפטליכער געמיינדע. עס זענען פאראן גאנצע ביכער וועגן $\ \pi$ , און מען האט שוין גערעכנט וואס מער ציפערן פון $\ \pi$ . מענטשן האבן שוין זיך אויסגעלערנט $\ \pi$ צו מער ווי 70,000 ציפערן.

אייגנשאפטן

$\ \pi$ איז אן אומראציאנעלע צאל, ד"ה מען קען אים נישט שרייבן ווי א ברוכצאל פון צוויי גאנצע צאלן. די אייגנשאפט איז באוויזן געווארן אין יאר 1761 דורך יאהאן היינריך לאמבערט.^[2]

אין יאר 1882 האט פערדינאנד לינדעמאן באוויזן דעם לינדעמאן טעארעם פון וואס עס קומט ארויס דירעקט אז $\ \pi$ איז א טרנסצענדענטאלע צאל.^[1] פון דעם באווייז קומט אויס אז $\ \pi$ קען נישט ווערן גערעכנט פון גאנצע צאלן, ברוכצאלן אדער זייערע ווארצלען צוזאמען מיט די פיר פעולות פון חשבון. נאך אן אויסקום איז אז מען קען נישט, דורך קאנסטרוקציע מיט א ווירע און א צירקל, שאפן א קוואדראט וואס זיין שטח איז גלייך צום שטח פון א געגעבענעם קרייז – איינער פון די קלאסישע פראבלעמען פון געאמעטריע.

רעכענען $π$

רעכענען א מער און מער גענויען ווערט פאר $\ \pi$ איז געווארן אן ארויסרוף במשך הונדערטער יאר.

דורך ארכימעד'ס אויסשעפונג מעטאד קען מען רעכענען דעם ווערט פון פי ווי גענוי מען וויל, ניצנדיק רעגלמעסיקע פילעקן וואס דער קרייז איז אדער זייער ארומקרייז אדער זייער אינקרייז. אין דעם בילד זעט מען איין זעקסעק וואס דער קרייז איז זיין ארומקרייז און איין זעקסעק וואס דער קרייז איז זיין אינקרייז.

מען האט געוואוסט בערכדיקע ווערטן צו פי שוין אין בבל און אין אוראלט עגיפטן, אבער ארכימעד האט געוויזן צום ערשטן מאל א מעטאד וואס דערמעגליכט רעכענען $\ \pi$ צו נארוועלכער גענויקייט (דער אויסשעפונג מעטאד). דער מעטאד איז באזירט אויף דעם וואס דער ארומנעם פון דעם קרייז איז קלענער ווי דער ארומנעם פון דעם פילעק וואס דער קרייז איז זיין אינקרייז, און גרעסער ווי דער ארומנעם פון דעם פילעק וואס דער קרייז איז זיין ארומקרייז. מיטן רעכענען דעם ארומנעם פון די ביידע פילעקן, וואס דער פילעק קען האבן וואס מער ריפן, קען מען רעכענען דעם ארומנעם פונעם קרייז וואס מער גענוי, און במילא רעכענען $\ \pi$ וואס מער גענוי. ארכימעד האט געניצט זיין מעטאד מיט א זעקסעק, און דערנאך האט ער געטאפלט די צאל ריפן (ניצנדיק כסדר רעגלמעסיקע פילעקן). מיט א פילעק פון 96 ריפן האט ארכימעד געקומען צום ארויסקום ^[3] (וואס דערשיינט אינעם בוך וועגן מעסטן דעם קרייז):

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$

בערך יאר 480 האט דער כינעזישער מאטעמאטיקער זו טשאנגזשי גערעכנט אז $π \approx$ ‏ ${\frac {355}{113}}$ ניצנדיק א פילעק מיט 12,288 עקן. דער ווערט 3.141592920 איז געהעריג אין די ערשטע זיבן ציפערן, און האט געהאלטן 800 יאר.

אין דעם אנהייב פונעם 15טן יארהונדערט האט דער פערסישער מאטעמאטיקער און אסטראנאם אל-קאשי גערעכנט $\ 2\pi$ צו 9 ציפערן אין דעם סעקסיגעסימאל-באזע, א גענויקייט וואס איז גלייך צו 16 ציפערן אין דעצימאל.

אין יאר 1596 האט דער האלענדער לודאלף וואן קעלין דערגרייכט 20 ציפערן, און עטליכע יאר נאכהער האט ער דערגרייכט א גענויקייט פון 35 ציפערן.

די אנטוויקלונג פון דעם קאלקולוס אין דעם 17טן יארהונדערט האט געברענגט נייע סיסטעמען צו רעכענע $\ \pi$ . די סיסטעמען זענען באזירט אויף א רעפרעזענטאציע פון $\ \pi$ ווי דער סכום פון אן אומענדליכער סעריע.

אומענדלעכע סעריעס

א פארמעלער פארטרעט פון א מאן מיט לאנגע האר

אייזיק ניוטאן האט געניצט אומענדלעכע סעריעס צו רעכענען

π

ביז 15 ציפערן.^[4]

די רעכענונג פון $π$ איז געווארן רעוואלוציאנירט דורך דער אנטוויקלונג פון אומענדלעכע סעריע טעכניקן אין די 16טע און 17טע יארהונדערטער. און אומענדלעכע סעריע איז דער צוגאב פון די עלעמענטן פון אן אומענדלעכן סעקווענץ.^[5] אומענדעלעכע סעריעס האבן געלאזט מאטעמאטיקער רעכענען $\ \pi$ מיט פיל גרעסערער פרעציזקייט ווי ארכימעד און אנדערע וואס האבן געניצט געאמעטרישע טעכניקן.^[5] כאטש מען האט אויסגעניצט אומענדלעכע סעריעס פאר $π$ , איבערהויפט דורך אייראפעאישע מאטעמאטיקער ווי דזשעימס גרעגארי און גאטפריד ווילהעלם לייבניץ, דעם דאזיגן צוגאנג האט מען שוין אנטפלעקט אין אינדיע צווישן די יארן 1400 און 1500 צו דער ציווילער רעכענונג.^[6] די ערשטע געשריבענע באשרייבונג פון אן אומענדליכער סעריע וואס מ'האט געקענט ניצן צו רעכענען $π$ איז געווען אויסגעלייגט אין סאנסקריט פערזן דורך דעם אינדישן אסטראנאם נילאקאנטא סאמאיאדזשי אין זיין טאנטראסאמגראהא, בערך אין יאר 1500.^[7] די סעריעס ווערן געברענגט אן קיין באווייזונג, אבער עס קומען פאר באווייזן אין א שפעטערדיקער אינדישער ווערק, יוקטיבאהאסא, פון בערך יאר 1530. נילאקאנטא שרייבט צו די סעריעס צו א פריערדיגן אינדישן מאטעמאטיקער, מאדהאווא פון סאנגאמאגראמא, וואס האט געלעבט אומגעפער 1350 – 1425.^[7] עטליכע אומענדלעכע סעריעס ווערן באשריבן, איינשליסנדיק סעריעס פאר סינוס, טאנגענס און קאסינוס, וואס מען רופט היינט די מאדהאווא סעריע אדער גרעגארי–לייבניץ סעריע.^[7] מאדהאווא האט געניצט אומענדלעכע סעריעס צו שאצן $π$ ביז 11 ציפערן ארום יאר 1400, אבער ארום 1430 האט דער פערסישער מאטעמאטיקער דזשאמשיד אל-קאשי פארבעסערט די רעכענונג, מיט א פילעק־אלגאריטם.^[8]

דאס אננעמען פונעם סימבאל $π$

לעאנהארד אוילער האט פאפולאריזירט דעם באניץ פונעם גריכישן אות

π

אין זיינע ווערק וואס ער האט פארעפנטליכט אין 1736 און 1748.

אין די פריעסטע באניצונגען איש דער גריכישער אות $π$ געווען א פארקירצונג פון דעם גריכיש ווארט פאר פעריפעריע (περιφέρεια),^[9] און איז געווארן קאמבינירט אין פראפארציעס מיט δ (פאר דיאמעטער) אדער ρ (פאר ראדיוס) צו שאפן קרייז קאנסטאנטן.^[10]^[11]^[12] (פאר דעם האבן מאטעמאטיקער ווי א מאל געניצט בוכשטאבן ווי c אדער p אנשטאט דעם.^[13]) דאס ערשטע מאל וואס איז באריכטעט איז ווען אוטרעד האט געניצט " $\delta .\pi$ ", ארויסצודרוקן די פראפארציע פון פעריפעריע און דיאמעטער אין די 1647 און שפעטערע אויסגאבעס פון Clavis Mathematicae.^[13]^[14] אזוי אויך האט בארא געניצט " ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ " צו רעפרעזענטירן דעם קאנסטאנט 3.14...,^[15] און גרעגארי האט געניצט " ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$ " צו רעפרעזענטירן 6.28... .^[11]^[16]

פי אין יידישע מקורות

אין ספר מלכים (ז, כג) איז משמע פונעם פסוק וועגן דעם ים־הנחושת וואס שלמה המלך האט געמאכט אז דער ארומנעם איז 3 מאל דעם דיאמעטער.

ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב.

און ער האָט געמאַכט דעם ים, אַ געגאָסענעם, צען איילן פון ראַנד צו ראַנד, קיילעכדיק רונד אַרום, און פינף איילן זיין הייך; און אַ שנור פון דרייסיג איילן האָט אים אַרומגערינגלט רונד אַרום.

פשטות נעמט מען אָן אז דער פסוק איז נישט צופיל מדייק דעם נומער, און דאס הייסט נישט אז מ'האט נישט געוואוסט א מער מדויק'ן ווערט פאר $\ \pi$ אין יענע צייטן, אדער אפשר איז גערעכענט דער דרויסענדיגער ארומנעם און דער אינעוועניגסטער ראדיוס. דער ווילנער גאון זאגט אז ס'איז מרומז אין פסוק די פראפארציע צווישן $\ \pi$ און 3, וואס דארף אויסקומען בערך 1.04719, ווייל ס'איז דא א קרי וכתיב פונעם ווארט וואס איז געשריבן קוה און מען ליינט עס קו; די פראפארציע צווישן דער גימטריא פונעם ווארט קוה (111) און דעם ווארט קו (106) איז אומגעפער ...1.04716.^[17]

פארמלען וואס ניצן $\ \pi$

פי באווייזט זיך אין פיל מאטעמאטישע פארמלען. פארשטייט זיך אז פארמלען וואס מעסטן קרייזן און ספערן ניצן $\ \pi$ , אבער אויך אין גאר אנדערע געביטן וואס האבן אייגנטלעך נישט קיין שייכות מיט געאמעטריע אדער קרייזן.

געאמעטריע


ארומנעם פון א קרייז	$C=2\pi r\,\!$
שטח פון א קרייזפלאך	$A=\pi r^{2}\,\!$
שטח פון אן עליפס	$A=\pi ab\,\!$
פארנעם פון א קיילעך	$V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\,\!$
אייבערפלאך שטח פון א קיילעך	$A=4\pi r^{2}\,\!$
פארנעם פון א צילינדער	$V=\pi r^{2}h\,\!$
אייבערפלאך שטח פון א צילינדער	$A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!$
פארנעם פון א קאנוס	$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!$
אייבערפלאך שטח פון א קאנוס	$A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!$

מאטעמאטישער אנאליז

וויעטא'ס פארמל, 1593:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots

גרעגארי-לייבניץ פארמל, אויף די נעמען פון דזשעימס גרעגארי (1638–1675) און ווילהעלם לייבניץ. גרעגארי האט אנטפלעקט די פארמל אין 1672. זי דערשיינט אויך אין דעם בוך Ganita-Yukti-Bhasa וואס דער אינדישער מאטעמאטיקער Jyesthadeva האט געשריבן אין דעם 16טן יארהונדערט. די פארמל איז

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

ד"ה:

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{2n-1}}\right)={\frac {\pi }{4}}

(מען באקומט די סעריע ווען מען שטעלט

\ x=1

אין דער טיילאר סעריע פאר

\ \arctan(x)

)

דער וואליס פראדוקט:

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

דער אינטעגראל פון דער גאוס פונקציע (נארמאלע פארטיילונג):

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

דער באזעלער פראבלעם וואס לעאנהארד אוילער האט געלייזט (זעט אויך די רימאן זעטא פונקציע):

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

די גאמא פונקציע (וואס איז א גענעראליזאציע פון דער פאקטאריאל פונקציע) פון 1/2:

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

סטירלינג פארמל וואס מען ניצט צו דערנענטערן דעם פאקטאריאל פון גרויסע צאלן:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

(מען באווייזט די טענה דורך אן אסימפטאטישע אנטוויקלונג פון דער גאמא פונקציע)

די אוילער אידענטיטעט וואס איז באזירט אויף דער אוילער פארמל (וואס ריטשארד פיינמאן האט גערופן די "וואונדערבארסטע אידענטיטעט אין מאטעמטיק", און זי פארבינדט די פינף פונדאמענטאלע מאטעמאטישע קאנסטאנטן):

e^{\pi i}+1=0\;

דער שטח פון א קוואדראט פון דעם איינץ-קרייז:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx={\pi  \over 4}

נאך אן אומאייגנטליכער אינטעגראל:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi

רעפערענצן

↑ ^1.0 ^1.1 Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Archived from the original on 2000-09-29. Retrieved ‏4טן נאוועמבער 2007. {{cite web}}: Check date values in: |accessdate= (help)
↑ זעט באווייזן אין דעם ארטיקל Proof that π is irrational אין דעם ענגליש-וויקיפעדיע
↑ א פראגראם וואס מוסטערט ארכימעד'ס מעטאד באשיינט אויפן וועבזייטל Archimedes and the Computation of Pi
↑ ציטירן פאנטשער: אומגילטיגער <ref> טעג; קיין טעקסט נישט געשריבן פאַר רעפערענצן מיטן נאָמען Newton
↑ ^5.0 ^5.1 Arndt & Haenel 2006, pp. 185–191
↑ Roy 1990, pp. 101–102 Arndt & Haenel 2006, pp. 185–186
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Roy 1990, pp. 101–102
↑ Joseph 1991, p. 264
↑ Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (in לאטייניש). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson. δ.π :: semidiameter. semiperipheria
↑ Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations: Vol. II (in ענגליש). Cosimo, Inc. pp. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1. the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier
↑ ^11.0 ^11.1 Smith, David E. (1958). History of Mathematics (in ענגליש). Courier Corporation. p. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.
↑ Archibald, R.C. (1921). "Historical Notes on the Relation $e^{-(\pi /2)}=i^{i}$ ". The American Mathematical Monthly. 28 (3): 116–121. doi:10.2307/2972388. JSTOR 2972388. It is noticeable that these letters are never used separately, that is, $π$ is not used for 'Semiperipheria'
↑ ^13.0 ^13.1 ציטירן פאנטשער: אומגילטיגער <ref> טעג; קיין טעקסט נישט געשריבן פאַר רעפערענצן מיטן נאָמען Arndt_a
↑ זעט, צום ביישפיל, Oughtred, William (1648). Clavis Mathematicæ [דער שליסל צו מאטעמאטיק] (in לאטיין). London: Thomas Harper. p. 69.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) (איבערזעצונג אויף ענגליש : Oughtred, William (1694). Key of the Mathematics (in ענגליש). J. Salusbury.)
↑ Barrow, Isaac (1860). "Lecture XXIV". In Whewell, William (ed.). The mathematical works of Isaac Barrow . (in לאטיין). הארווארד אוניווערסיטעט. Cambridge University press. p. 381.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Gregorii, Davidis (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae". Philosophical Transactions (in לאטיין). 19: 637–652. JSTOR 102382.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ בועז צבאן ודוד גרבר, ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות

דער ארטיקל בנוגע מאטעמאטיק איז א שטומף. איר זענט געלאדנט עס צו פארברייטערן.

דער בלאט קומט פון יידיש-וויקיפעדיע.
אריגינעלער בלאט • ערלויבעניש cc-by-sa 3.0.

דאס איז נישט קיין המכלול ארטיקל, בלויז עפעס וואס ליגט דא ביז עס וועט ערזעצט ווערן מיט בעסערס. שרייבט עס איבער!

[Mayer-1] 1.0 ^1.1 Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Archived from the original on 2000-09-29. Retrieved ‏4טן נאוועמבער 2007. {{cite web}}: Check date values in: |accessdate= (help)

[2] זעט באווייזן אין דעם ארטיקל Proof that π is irrational אין דעם ענגליש-וויקיפעדיע

[3] א פראגראם וואס מוסטערט ארכימעד'ס מעטאד באשיינט אויפן וועבזייטל Archimedes and the Computation of Pi

[Newton-4] ציטירן פאנטשער: אומגילטיגער <ref> טעג; קיין טעקסט נישט געשריבן פאַר רעפערענצן מיטן נאָמען Newton

[Ais-5] 5.0 ^5.1 Arndt & Haenel 2006, pp. 185–191

[6] Roy 1990, pp. 101–102 Arndt & Haenel 2006, pp. 185–186

[Roypp-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Roy 1990, pp. 101–102

[8] Joseph 1991, p. 264

[9] Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (in לאטייניש). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson. δ.π :: semidiameter. semiperipheria

[:0-10] Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations: Vol. II (in ענגליש). Cosimo, Inc. pp. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1. the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier

[:1-11] 11.0 ^11.1 Smith, David E. (1958). History of Mathematics (in ענגליש). Courier Corporation. p. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.

[12] Archibald, R.C. (1921). "Historical Notes on the Relation $e^{-(\pi /2)}=i^{i}$ ". The American Mathematical Monthly. 28 (3): 116–121. doi:10.2307/2972388. JSTOR 2972388. It is noticeable that these letters are never used separately, that is, $π$ is not used for 'Semiperipheria'

[Arndt_a-13] 13.0 ^13.1 ציטירן פאנטשער: אומגילטיגער <ref> טעג; קיין טעקסט נישט געשריבן פאַר רעפערענצן מיטן נאָמען Arndt_a

[14] זעט, צום ביישפיל, Oughtred, William (1648). Clavis Mathematicæ [דער שליסל צו מאטעמאטיק] (in לאטיין). London: Thomas Harper. p. 69.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) (איבערזעצונג אויף ענגליש : Oughtred, William (1694). Key of the Mathematics (in ענגליש). J. Salusbury.)

[15] Barrow, Isaac (1860). "Lecture XXIV". In Whewell, William (ed.). The mathematical works of Isaac Barrow . (in לאטיין). הארווארד אוניווערסיטעט. Cambridge University press. p. 381.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[16] Gregorii, Davidis (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae". Philosophical Transactions (in לאטיין). 19: 637–652. JSTOR 102382.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[17] בועז צבאן ודוד גרבר, ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

רוי:פי

אינהאַלט

אייגנשאפטן