אונטערשייד צווישן ווערסיעס פון "רוי:אלגעברע"
ק (החלפת טקסט – "{{מאטעמאטיק-שטומף}}" ב־"{{שטומף|מאטעמאטיק}}") |
ק (החלפת טקסט – "{{דעסקריפציע||ענגליש=" ב־"{{דעסקריפציע||ענגליש = ") |
||
| (11 מיטלסטע ווערסיעס פון 4 באַניצער נישט געוויזן.) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
'''אלגעברע''' <small>(שטאמט פון [[אראביש]]: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג")</small> איז א געביט אין [[מאטעמאטיק]] וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע | {{דעסקריפציע||ענגליש = part of mathematics in which letters and other symbols are used to represent numbers and quantities in formulae and equation|דייטש=Teilgebiet der Mathematik|}} | ||
'''אלגעברע''' <small>(שטאמט פון [[אראביש]]: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג")</small> איז א געביט אין [[מאטעמאטיק]] וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע [[אלגעברעישע סטרוקטור|סטרוקטורן]]. אין אלגעמיין, באהאנדלט אלגעברע מיט פארשידענע סימבאלן אנשטאט אדער געמישט מיט [[נומער]]ן. | |||
פראבלעמען אין [[עלעמענטארע אלגעברע]] לייזט מען אויס דורך [[גלייכונג]]ען. | פראבלעמען אין [[עלעמענטארע אלגעברע]] לייזט מען אויס דורך [[גלייכונג]]ען. | ||
אלגעברא פארנעמט זיך מיט די פאלגנדיגע טעמעס: | אלגעברא פארנעמט זיך מיט די פאלגנדיגע טעמעס: | ||
| שורה 7: | שורה 8: | ||
* [[לינעארע אלגעברע]] | * [[לינעארע אלגעברע]] | ||
* [[קלאסישע אלגעברע]] | * [[קלאסישע אלגעברע]] | ||
* [[אבסטראקטע אלגעברע]], וואס באהאנדלט [[אלגעברעישע סטרוקטור | * [[אבסטראקטע אלגעברע]], וואס באהאנדלט [[אלגעברעישע סטרוקטור]]ן, ווי [[גרופע (מאטעמאטיק)|גרופעס]], [[רינג (מאטעמאטיק)|רינגען]] און [[פעלד (מאטעמאטיק)|פעלדער]]. | ||
עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון [[אריטמעטיק]], וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג <math>x + 2 = 5</math> איז דער אות <math>x</math> אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: <math>x=3</math>. אין דער גלייכונג [[E=mc²|''E'' = ''mc''<sup | עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון [[אריטמעטיק]], וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג <math>x + 2 = 5</math> איז דער אות <math>x</math> אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: <math>x=3</math>. אין דער גלייכונג [[E=mc²|''E'' = ''mc''<sup>2</sup>]], זענען די בוכשטאבן <math>E</math> און <math>m</math> וואריאבלען, און דער בוכשטאב <math>c</math> איז א קאנסטאנט וואס באדייט די גיך פון ליכט אין א וואקואום. אלגעברע פארזארגט מעטאדן צו שרייבן פארמלען און לייזן גלייכונגען וואס זענען קלארער ווי דער היסטארישער מעטאד פון שרייבן אלץ מיט ווערטער. | ||
עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק | עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק נויטיג כדי צו שטודירן מאטעמאטיק, וויסנשאפט אדער אינזשעניריע, און אויך פאר אנדערע דיסציפלינען ווי מעדיצין און עקאנאמיק. | ||
== עטימאלאגיע == | == עטימאלאגיע == | ||
דאס ווארט "אלגעברע" איז [[לאטיין]] פונעם [[אראביש]] ווארט "אַל־דזשאַבר" | דאס ווארט "אלגעברע" איז [[לאטיין]] פונעם [[אראביש]] ווארט "אַל־דזשאַבר" ("אָפגיסן") און איז גענומען פונעם מאטעמאטיק בוך ''אל־מאקאלא פי היסאב־אל דזשאבר ווא־אל־מוקאבילאה'' ("עסיי וועגן דער קאמפוטאציע פון אפגיסן און גלייכונג"), געשריבן אינעם [[9טער י"ה|9טן יארהונדערט]] דורכן בארימטן [[פערסער|פערסישער]] מאטעמאטיקער [[אל־כוואריזמי]], וואס האט געבליט אין [[באגדאד]] אין די יארן [[813-833]], און איז געשטארבן אין 840. מ'האט געברענגט דאס בוך קיין [[אייראפע]] און געהאט עס איבערגעזעצט אויף לאטיין אינעם [[12טער י"ה|12טן יארהונדערט]]; מען האט געגעבן דאס בוך דעם נאמען 'אלגעברע'. | ||
== אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק == | == אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק == | ||
אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון [[אריטמעטיק]], אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.<ref name=citeboyer /> דאס האט | אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון [[אריטמעטיק]], אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.<ref name=citeboyer /> דאס האט ערלויבט באווייזן פון אייגנשאפטן וואס זענען וואר פאר אלע נומערן. למשל, אין דער [[קוואדראטישע גלייכונג|קוואדראטישער גלייכונג]] | ||
:<math>ax^2+bx+c=0,</math> | :<math>ax^2+bx+c=0,</math> | ||
קענען <math>a, b, c</math> רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז <math>a</math> טאר נישט זיין גלייך צו <math>0</math>), דעמאלסט קען מען ניצן די [[קוואדראטישע פארמל]] צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט <math>x</math> וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד"ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג. | קענען <math>a, b, c</math> רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז <math>a</math> טאר נישט זיין גלייך צו <math>0</math>), דעמאלסט קען מען ניצן די [[קוואדראטישע פארמל]] צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט <math>x</math> וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד"ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג. | ||
היסטאריש, און אויך היינט ביים אויסלערנען, הייבט אן די שטודיע פון אלגעברע מיט לייזן גלייכונגען אזוי ווי די [[קוואדראטישע גלייכונג]] אויבן. דערנאך, קלערט מען מער אלגעמיינע פראגעס, | היסטאריש, און אויך היינט ביים אויסלערנען, הייבט אן די שטודיע פון אלגעברע מיט לייזן גלייכונגען אזוי ווי די [[קוואדראטישע גלייכונג]] אויבן. דערנאך, קלערט מען מער אלגעמיינע פראגעס, למשל "צי האט א גלייכונג א לייזונג?", "וויפיל לייזונגען האט א גלייכונג?", "וואס קען מען זאגן וועגן דער נאטור פון די לייזונגען?". די פראגעס ברענגען צו באגריפן פון פארעם, סטרוקטור און סימעטריע.<ref>{{cite book |last=Gattengo |first=Caleb |year=2010 |title=The Common Sense of Teaching Mathematics |publisher=Educational Solutions Inc. |isbn=978-0878252206 }}</ref> די דאזיקע אנטוויקלונג האט געלאזט אלגעברע צו ווערן פארברייטערט צו באטראכטן נישט־נומערישע אביעקטן, ווי [[וועקטאר (מאטעמאטיק)|וועקטארן]], [[מאטריצע (מאטעמאטיק)|מאטריצעס]] און [[פאלינאם|פאלינאמען]]. די סטרוקטור אייגנשאפטן פון די דאזיקע נישט-נומערישע אביעקטן האט מען אבסטראקטירט צו דעפינירן [[אלגעברעישע סטרוקטור]]ן ווי [[גרופע (מאטעמאטיק)|גרופעס]], [[רינג (מאטעמאטיק)|רינגען]] און [[פעלד (מאטעמאטיק)|פעלדער]]. | ||
פאַרן 16טן יארהונדערט איז מאטעמאטיק געווען צעטיילט אין צוויי געביטן, [[אריטמעטיק]] און [[געאמעטריע]]. כאטש טייל מעטאדן וואס זענען אנטוויקלט געווארן א סך פריער ווערן גערעכענט היינט ווי אלגעברע, אבער באטראכטן אלגעברע און, קורץ דערנאך, קאלקולוס ווי געביטן פון מאטעמאטיק האט אנגעהויבן ערשט אין דעם 16טן אדער 17טן יארהונדערט. זייט דעם צווייטן העלפט פונעם 19טן יארהונדערט האבן זיך באוויזן פיל נייע פעלדער פון מאטעמאטיק, מערסטנס וואס ניצן סיי אריטמעטיק און סיי געאמעטריע, און כמעט אלע וואס ניצן אלגעברע. | פאַרן 16טן יארהונדערט איז מאטעמאטיק געווען צעטיילט אין צוויי געביטן, [[אריטמעטיק]] און [[געאמעטריע]]. כאטש טייל מעטאדן וואס זענען אנטוויקלט געווארן א סך פריער ווערן גערעכענט היינט ווי אלגעברע, אבער באטראכטן אלגעברע און, קורץ דערנאך, קאלקולוס ווי געביטן פון מאטעמאטיק האט אנגעהויבן ערשט אין דעם 16טן אדער 17טן יארהונדערט. זייט דעם צווייטן העלפט פונעם 19טן יארהונדערט האבן זיך באוויזן פיל נייע פעלדער פון מאטעמאטיק, מערסטנס וואס ניצן סיי אריטמעטיק און סיי געאמעטריע, און כמעט אלע וואס ניצן אלגעברע. | ||
היינט, איז אלגעברע געוואקסן ביז זי שליסט איין פיל צווייגן פון מאטעמאטיק, וואס מען קען דערקענען פון דער מאטעמאטיק סוביעקט קלאסיפיקאציע,<ref>{{cite web|url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|title=2010 Mathematics Subject Classification|publisher=|accessdate=5טן אקטאבער 2014}}</ref> וואו קיינע פון די ערשטער־ניווא געביטן (די מיט צוויי ציפערן) ווערט גערופן ''אלגעברע''. היינט שליסט איין אלגעברע טיילן , 12-[[פעלד טעאריע]] און [[פאלינאם|פאלינאמען]], , 13-[[קאמוטאטיווע אלגעברע]], 15-[[לינעארע אלגעברע|לינעארע]] און [[מולטילינעארע אלגעברע]]; [[מאטריקס טעאריע]], 16-[[אסאציאטיווע אלגעברע|אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס]], 17-[[נישט-אסאציאטיווע רינגען]] און | היינט, איז אלגעברע געוואקסן ביז זי שליסט איין פיל צווייגן פון מאטעמאטיק, וואס מען קען דערקענען פון דער מאטעמאטיק סוביעקט קלאסיפיקאציע,<ref>{{cite web|url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|title=2010 Mathematics Subject Classification|publisher=|accessdate=5טן אקטאבער 2014}}</ref> וואו קיינע פון די ערשטער־ניווא געביטן (די מיט צוויי ציפערן) ווערט גערופן ''אלגעברע''. היינט שליסט איין אלגעברע טיילן, 12-[[פעלד טעאריע]] און [[פאלינאם|פאלינאמען]],, 13-[[קאמוטאטיווע אלגעברע]], 15-[[לינעארע אלגעברע|לינעארע]] און [[מולטילינעארע אלגעברע]]; [[מאטריקס טעאריע]], 16-[[אסאציאטיווע אלגעברע|אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס]], 17-[[נישט-אסאציאטיווע רינגען]] און [[נישט-אסאציאטיווע אלגעברע|אלגעברעס]], 18- [[קאטעגאריע טעאריע]]; [[האמאלאגישע אלגעברע]], 19-[[K-טעאריע|K- טעאריע]] און 20-[[גרופע טעאריע]]. אלגעברע ווערט אויך ברייט געניצט אין 11- [[נומערן טעאריע]] און 14- [[אלגעברעאישע געאמעטריע]] . | ||
== אבסטראקטע אלגעברע == | == אבסטראקטע אלגעברע == | ||
'''אבסטראקעט אלגעברע''' | '''אבסטראקעט אלגעברע''' פארברייטערט באגריפן וואס מען טרעפט אין עלעמנטארער אלגעברע און [[אריטמעטיק]] צו מער אלגעמיינע באגריפן. דא זענען די גרונטליכע באגריפן און אבסטראקטער אלגעברע. | ||
'''[[געזעמל (מאטעמאטיק)|געזעמלען]]''': ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן [[צאל | '''[[געזעמל (מאטעמאטיק)|געזעמלען]]''': ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן [[צאל]]ן, באהאנדלט אבסטראקטע אלגעברע דעם מער אלגעמיינעם באגריף פון ''געזעמלען'': א זאמלונג פון אלע אביעקטן (וואס מען רופט [[עלעמענט (מאטעמאטיק)|עלעמענטן]]) געקליבן מיט אן אייגנשאפט ספעציפיש צום געזעמל. למשל, די זאמלונגען פון רעאלע צאלן און קאמפלעקסע צאלן זענען ביידע געזעמלען. אנדערע ביישפילן זענען דער געזעמל פון צוויי־אויף־צוויי [[מאטריץ|מאטריצן]], דער געזעמל פון צווייטער־גראד [[פאלינאם|פאלינאמען]] (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), דער געזעמל פון צוויי־דימענסיאנעלע [[וועקטאר]]ן אין דעם פלוין, און די פארשידענע [[ענדליכע גרופעס]] ווי למשל די [[ציקלישע גרופע]]ס. [[געזעמלען טעאריע]] איז עכט א צווייג פון [[לאגיק]] און טעכניש נישט קיין צווייג פון אלגעברע. | ||
'''[[בינארישע אפעראציע | '''[[בינארישע אפעראציע]]ס''': דער באגריף פון [[צוגאב]] (+) ווערט אבסטראקטירט צו שאפן א ''בינארישע אפעראציע'', וואס מען קען שרייבן ∗ . דער באגריף פון בינארישער אפעראציע האט נישט קיין באדייט אן דעם געזעמל אויף וואס די אפעראציע ווערט דעפינירט. פאר צוויי עלעמענטן ''a'' און ''b'' אין א געזעמל ''S'', איז ''a'' ∗ ''b'' נאך אן עלעמענט אין דעם זעלבן געזעמל; דעם תנאי רופטו מען [[פארשלאסנקייט (מאטעמאטיק)|פארשלאסנקייט]]. [[צוגאב]] (+), [[אראפנעם]] (−), [[טאפלונג|טאפלען]] (×), און [[צעטיילן]] (÷) קענען זיין בינארישע אפעראציעס ווען זיי זענען דעפינירט אויף פארשידענע געזעמלען, ווי אויך צוגאב און טאפלונג פון מאטריצן, וועקטארן און פאלינאמען. | ||
'''[[נייטראלער עלעמענט|נייטראלע עלעמענטן]]''': די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א ''נייטראלן עלעמענט'' פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט | '''[[נייטראלער עלעמענט|נייטראלע עלעמענטן]]''': די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א ''נייטראלן עלעמענט'' פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט ''e'' באפרידיקן ''a'' ∗ ''e'' = ''a'' און ''e'' ∗ ''a'' = ''a'' פאר אלע עלעמענטן ''a'' און איז איינציק, טאמער ער עקזיסטירט. ביי צוגאב האט מען ''a'' + 0 = ''a'' און 0 + ''a'' = ''a'' און ביי טאפלען האט מען ''a'' × 1 = ''a'' און 1 × ''a'' = ''a''. נישט אלע קאמבינאציעס פון געזעמלען און אפעראטארן האבן א נייטראלן עלעמענט; למשל, דאס געזעמל פון פאזיטיווע נאטירליכע צאלן (1, 2, 3, ...) האט נישט קיין נייטראלן עלעמענט פאר צוגאב. | ||
'''[[אינווערסער עלעמענט|אינווערסע עלעמענטן]]''': פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון ''אינווערסע עלעמענטן''. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון ''a'' געשריבן −''a'', און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס ''a''<sup>−1</sup>. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט ''a''<sup>−1</sup> באפרידיקט דעם אייגנשאפט ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', | '''[[אינווערסער עלעמענט|אינווערסע עלעמענטן]]''': פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון ''אינווערסע עלעמענטן''. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון ''a'' געשריבן −''a'', און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס ''a''<sup>−1</sup>. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט ''a''<sup>−1</sup> באפרידיקט דעם אייגנשאפט ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', וואו ''e'' באצייכענט דעם נייטראלן עלעמענט. | ||
'''[[אסאציאטיוויטעט]]''': צוגאב פון גאנצע צאלן באפרידיקט דעם אייגנשאפט אסאציאטיוויטעט. ד"ה, דאס גרופירן פון די צאלן וואס מען גייט צוגעבן טוט נישט באאיינפלוסן דעם רעזולטאט. למשל: {{נישט וויקלען|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)}}. אין אלגעמיין, ווערט דאס (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' = ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c''). די דאזיקע אייגנשאפט איז גילטיק פאר גאר א סך בינארישע אפעראציעס, אבער נישט פאר אראפנעם אדער טיילונג. | '''[[אסאציאטיוויטעט]]''': צוגאב פון גאנצע צאלן באפרידיקט דעם אייגנשאפט אסאציאטיוויטעט. ד"ה, דאס גרופירן פון די צאלן וואס מען גייט צוגעבן טוט נישט באאיינפלוסן דעם רעזולטאט. למשל: {{נישט וויקלען|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)}}. אין אלגעמיין, ווערט דאס (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' = ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c''). די דאזיקע אייגנשאפט איז גילטיק פאר גאר א סך בינארישע אפעראציעס, אבער נישט פאר אראפנעם אדער טיילונג. | ||
| שורה 45: | שורה 46: | ||
=== גרופעס === | === גרופעס === | ||
{{הויפט ארטיקל|גרופע (מאטעמאטיק)}} | {{הויפט ארטיקל|גרופע (מאטעמאטיק)}} | ||
ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די | ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די וויכטיגסטע סטרוקטורן אין מאטעמאטיק: א [[גרופע (מאטעמאטיק)|גרופע]]. א גרופע איז א קאמיבאציע פון א געזעמל ''S'' מיט אן איינציגער [[בינארישע אפעראציע|בינארישער אפעראציע]] ∗, דעפינירט אין נארוועלכן וועג, מיט אבער די פאלגנדע אייגנשאפטן: | ||
* ס'איז פאראן אין דעם געזעמל א [[נייטראלער עלעמענט|נייטראַלער עלעמענט]] ''e'', וואס פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', ''e'' ∗ ''a'' און ''a'' ∗ ''e'' זענען ביידע גלייך צו ''a''. | |||
* ס'איז פאראן אין דעם געזעמל א | * יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', איז פאראן א מיטגליד ''a''<sup>−1</sup> אזוי אז ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' זענען ביידע גלייך צום נייטראלן עלעמענט. | ||
* יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', איז פאראן א מיטגליד | * די אפעראציע איז אסאציאטיוו: ווען ''a'', ''b'' און ''c'' זענען מיטגלידער פון ''S'', דאן זענען (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' און ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c'') גלייך. | ||
* די אפעראציע איז אסאציאטיוו: ווען ''a'', ''b'' און ''c'' זענען מיטגלידער פון ''S'', דאן זענען (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' | |||
טאמער א גרופע איז אויך [[קאמוטאטיוויטעט|קאמוטאטיוו]]—ד"ה פאר יעדע צוויי מיטגלידער ''a'' און ''b'' פון ''S'', איז ''a'' ∗ ''b'' גלייך צו ''b'' ∗ ''a''—דאמאלסט ווערט די גרופע גערופן [[אבעלישע גרופע|אבעליש]]. | טאמער א גרופע איז אויך [[קאמוטאטיוויטעט|קאמוטאטיוו]]—ד"ה פאר יעדע צוויי מיטגלידער ''a'' און ''b'' פון ''S'', איז ''a'' ∗ ''b'' גלייך צו ''b'' ∗ ''a''—דאמאלסט ווערט די גרופע גערופן [[אבעלישע גרופע|אבעליש]]. | ||
=== רינגען און פעלדער === | === רינגען און פעלדער === | ||
א '''[[רינג (מאטעמאטיק)|רינג]]''' האט צוויי בינארישע אפעראציעס | א '''[[רינג (מאטעמאטיק)|רינג]]''' האט צוויי בינארישע אפעראציעס (+) און (×), מיט × דיסטריבוטיוו איבער +. אונטער דעם ערשטן אפעראטאר (+) איז ער אן ''אבעלישע גרופע''. אונטער דעם צווייטן אפעראטאר (×) איז ער אסאציאטיוו, אבער דארף נישט האבן א נייטראלן עלעמענט אדער אינווערסן. דעם נייטראלן עלעמענט פון צוגאב (+) שרייבט מען 0 און דעם אינווערס פון ''a'' פאר צוגאב שרייבט מען −''a''. | ||
'''[[דיסטריבוטיוויטעט]]''' גענעראליזרט דעם ''דיסטריבוטיוו-געזעץ'' פאר נומערן. פאר די גאנצע צאלן {{ר|רעכטס=יא}}{{nowrap|1=(''a'' + ''b'') × ''c'' = ''a'' × ''c'' + ''b'' × ''c''}} און {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b'',}} און × ווערט גערופן ''דיסטריבוטיוו'' איבער +. | '''[[דיסטריבוטיוויטעט]]''' גענעראליזרט דעם ''דיסטריבוטיוו-געזעץ'' פאר נומערן. פאר די גאנצע צאלן {{ר|רעכטס=יא}}{{nowrap|1=(''a'' + ''b'') × ''c'' = ''a'' × ''c'' + ''b'' × ''c''}} און {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b'',}} און × ווערט גערופן ''דיסטריבוטיוו'' איבער +. | ||
| שורה 62: | שורה 62: | ||
==רעפערענצן== | ==רעפערענצן== | ||
{{רעפליסטע | {{רעפליסטע | ||
| | |הערות= | ||
<ref name=citeboyer>{{Harvnb|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> | <ref name=citeboyer>{{Harvnb|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> | ||
}} | }} | ||
{{שטומף|מאטעמאטיק}} | {{שטומף|מאטעמאטיק}} | ||
[[קאַטעגאָריע:אלגעברע|*]] | [[קאַטעגאָריע:אלגעברע|*]] | ||
[[ | [[קאַטעגאָריע:עלעמענטארע ארטיקלען צו פארברייטערן]] | ||
[[ | [[קאַטעגאָריע:אויף יידיש]] | ||
[[HE:אלגברה]] | |||
{{קרד/ויקי/יידיש}} | {{קרד/ויקי/יידיש}} | ||
יעצטיגע רעוויזיע זינט 11:18, 26 אקטאבער 2023
אלגעברע (שטאמט פון אראביש: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג") איז א געביט אין מאטעמאטיק וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע סטרוקטורן. אין אלגעמיין, באהאנדלט אלגעברע מיט פארשידענע סימבאלן אנשטאט אדער געמישט מיט נומערן.
פראבלעמען אין עלעמענטארע אלגעברע לייזט מען אויס דורך גלייכונגען.
אלגעברא פארנעמט זיך מיט די פאלגנדיגע טעמעס:
- עלעמענטארע אלגעברע
- לינעארע אלגעברע
- קלאסישע אלגעברע
- אבסטראקטע אלגעברע, וואס באהאנדלט אלגעברעישע סטרוקטורן, ווי גרופעס, רינגען און פעלדער.
עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון אריטמעטיק, וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג איז דער אות אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: . אין דער גלייכונג E = mc2, זענען די בוכשטאבן און וואריאבלען, און דער בוכשטאב איז א קאנסטאנט וואס באדייט די גיך פון ליכט אין א וואקואום. אלגעברע פארזארגט מעטאדן צו שרייבן פארמלען און לייזן גלייכונגען וואס זענען קלארער ווי דער היסטארישער מעטאד פון שרייבן אלץ מיט ווערטער.
עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק נויטיג כדי צו שטודירן מאטעמאטיק, וויסנשאפט אדער אינזשעניריע, און אויך פאר אנדערע דיסציפלינען ווי מעדיצין און עקאנאמיק.
עטימאלאגיע
דאס ווארט "אלגעברע" איז לאטיין פונעם אראביש ווארט "אַל־דזשאַבר" ("אָפגיסן") און איז גענומען פונעם מאטעמאטיק בוך אל־מאקאלא פי היסאב־אל דזשאבר ווא־אל־מוקאבילאה ("עסיי וועגן דער קאמפוטאציע פון אפגיסן און גלייכונג"), געשריבן אינעם 9טן יארהונדערט דורכן בארימטן פערסישער מאטעמאטיקער אל־כוואריזמי, וואס האט געבליט אין באגדאד אין די יארן 813-833, און איז געשטארבן אין 840. מ'האט געברענגט דאס בוך קיין אייראפע און געהאט עס איבערגעזעצט אויף לאטיין אינעם 12טן יארהונדערט; מען האט געגעבן דאס בוך דעם נאמען 'אלגעברע'.
אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק
אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון אריטמעטיק, אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.[1] דאס האט ערלויבט באווייזן פון אייגנשאפטן וואס זענען וואר פאר אלע נומערן. למשל, אין דער קוואדראטישער גלייכונג
קענען רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז טאר נישט זיין גלייך צו ), דעמאלסט קען מען ניצן די קוואדראטישע פארמל צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד"ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג.
היסטאריש, און אויך היינט ביים אויסלערנען, הייבט אן די שטודיע פון אלגעברע מיט לייזן גלייכונגען אזוי ווי די קוואדראטישע גלייכונג אויבן. דערנאך, קלערט מען מער אלגעמיינע פראגעס, למשל "צי האט א גלייכונג א לייזונג?", "וויפיל לייזונגען האט א גלייכונג?", "וואס קען מען זאגן וועגן דער נאטור פון די לייזונגען?". די פראגעס ברענגען צו באגריפן פון פארעם, סטרוקטור און סימעטריע.[2] די דאזיקע אנטוויקלונג האט געלאזט אלגעברע צו ווערן פארברייטערט צו באטראכטן נישט־נומערישע אביעקטן, ווי וועקטארן, מאטריצעס און פאלינאמען. די סטרוקטור אייגנשאפטן פון די דאזיקע נישט-נומערישע אביעקטן האט מען אבסטראקטירט צו דעפינירן אלגעברעישע סטרוקטורן ווי גרופעס, רינגען און פעלדער.
פאַרן 16טן יארהונדערט איז מאטעמאטיק געווען צעטיילט אין צוויי געביטן, אריטמעטיק און געאמעטריע. כאטש טייל מעטאדן וואס זענען אנטוויקלט געווארן א סך פריער ווערן גערעכענט היינט ווי אלגעברע, אבער באטראכטן אלגעברע און, קורץ דערנאך, קאלקולוס ווי געביטן פון מאטעמאטיק האט אנגעהויבן ערשט אין דעם 16טן אדער 17טן יארהונדערט. זייט דעם צווייטן העלפט פונעם 19טן יארהונדערט האבן זיך באוויזן פיל נייע פעלדער פון מאטעמאטיק, מערסטנס וואס ניצן סיי אריטמעטיק און סיי געאמעטריע, און כמעט אלע וואס ניצן אלגעברע.
היינט, איז אלגעברע געוואקסן ביז זי שליסט איין פיל צווייגן פון מאטעמאטיק, וואס מען קען דערקענען פון דער מאטעמאטיק סוביעקט קלאסיפיקאציע,[3] וואו קיינע פון די ערשטער־ניווא געביטן (די מיט צוויי ציפערן) ווערט גערופן אלגעברע. היינט שליסט איין אלגעברע טיילן, 12-פעלד טעאריע און פאלינאמען,, 13-קאמוטאטיווע אלגעברע, 15-לינעארע און מולטילינעארע אלגעברע; מאטריקס טעאריע, 16-אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס, 17-נישט-אסאציאטיווע רינגען און אלגעברעס, 18- קאטעגאריע טעאריע; האמאלאגישע אלגעברע, 19-K- טעאריע און 20-גרופע טעאריע. אלגעברע ווערט אויך ברייט געניצט אין 11- נומערן טעאריע און 14- אלגעברעאישע געאמעטריע .
אבסטראקטע אלגעברע
אבסטראקעט אלגעברע פארברייטערט באגריפן וואס מען טרעפט אין עלעמנטארער אלגעברע און אריטמעטיק צו מער אלגעמיינע באגריפן. דא זענען די גרונטליכע באגריפן און אבסטראקטער אלגעברע.
געזעמלען: ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן צאלן, באהאנדלט אבסטראקטע אלגעברע דעם מער אלגעמיינעם באגריף פון געזעמלען: א זאמלונג פון אלע אביעקטן (וואס מען רופט עלעמענטן) געקליבן מיט אן אייגנשאפט ספעציפיש צום געזעמל. למשל, די זאמלונגען פון רעאלע צאלן און קאמפלעקסע צאלן זענען ביידע געזעמלען. אנדערע ביישפילן זענען דער געזעמל פון צוויי־אויף־צוויי מאטריצן, דער געזעמל פון צווייטער־גראד פאלינאמען (ax2 + bx + c), דער געזעמל פון צוויי־דימענסיאנעלע וועקטארן אין דעם פלוין, און די פארשידענע ענדליכע גרופעס ווי למשל די ציקלישע גרופעס. געזעמלען טעאריע איז עכט א צווייג פון לאגיק און טעכניש נישט קיין צווייג פון אלגעברע.
בינארישע אפעראציעס: דער באגריף פון צוגאב (+) ווערט אבסטראקטירט צו שאפן א בינארישע אפעראציע, וואס מען קען שרייבן ∗ . דער באגריף פון בינארישער אפעראציע האט נישט קיין באדייט אן דעם געזעמל אויף וואס די אפעראציע ווערט דעפינירט. פאר צוויי עלעמענטן a און b אין א געזעמל S, איז a ∗ b נאך אן עלעמענט אין דעם זעלבן געזעמל; דעם תנאי רופטו מען פארשלאסנקייט. צוגאב (+), אראפנעם (−), טאפלען (×), און צעטיילן (÷) קענען זיין בינארישע אפעראציעס ווען זיי זענען דעפינירט אויף פארשידענע געזעמלען, ווי אויך צוגאב און טאפלונג פון מאטריצן, וועקטארן און פאלינאמען.
נייטראלע עלעמענטן: די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א נייטראלן עלעמענט פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט e באפרידיקן a ∗ e = a און e ∗ a = a פאר אלע עלעמענטן a און איז איינציק, טאמער ער עקזיסטירט. ביי צוגאב האט מען a + 0 = a און 0 + a = a און ביי טאפלען האט מען a × 1 = a און 1 × a = a. נישט אלע קאמבינאציעס פון געזעמלען און אפעראטארן האבן א נייטראלן עלעמענט; למשל, דאס געזעמל פון פאזיטיווע נאטירליכע צאלן (1, 2, 3, ...) האט נישט קיין נייטראלן עלעמענט פאר צוגאב.
אינווערסע עלעמענטן: פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון אינווערסע עלעמענטן. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון a געשריבן −a, און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס a−1. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט a−1 באפרידיקט דעם אייגנשאפט a ∗ a−1 = e און a−1 ∗ a = e, וואו e באצייכענט דעם נייטראלן עלעמענט.
אסאציאטיוויטעט: צוגאב פון גאנצע צאלן באפרידיקט דעם אייגנשאפט אסאציאטיוויטעט. ד"ה, דאס גרופירן פון די צאלן וואס מען גייט צוגעבן טוט נישט באאיינפלוסן דעם רעזולטאט. למשל: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). אין אלגעמיין, ווערט דאס (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). די דאזיקע אייגנשאפט איז גילטיק פאר גאר א סך בינארישע אפעראציעס, אבער נישט פאר אראפנעם אדער טיילונג.
קאמוטאטיוויטעט: צוגאב און טאפלען פון רעאלע צאלן זענען ביידע קאמוטאטיוו. ד"ה, דער סדר פון די צוויי צאלן איז נישט מעכב. למשל: 2 + 3 = 3 + 2. אין אלגעמיין, האלט a ∗ b = b ∗ a. די דאזיקע אייגנשאפט האלט נישט גוט פאר אלע בינארישע אפעראציעס. למשל, מאטריץ-טאפלונג און קוואטערניאן-טאפלונג זענען ביידע נישט־קאמוטאטיוו.
גרופעס
ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די וויכטיגסטע סטרוקטורן אין מאטעמאטיק: א גרופע. א גרופע איז א קאמיבאציע פון א געזעמל S מיט אן איינציגער בינארישער אפעראציע ∗, דעפינירט אין נארוועלכן וועג, מיט אבער די פאלגנדע אייגנשאפטן:
- ס'איז פאראן אין דעם געזעמל א נייטראַלער עלעמענט e, וואס פאר יעדן מיטגליד a פון S, e ∗ a און a ∗ e זענען ביידע גלייך צו a.
- יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד a פון S, איז פאראן א מיטגליד a−1 אזוי אז a ∗ a−1 און a−1 ∗ a זענען ביידע גלייך צום נייטראלן עלעמענט.
- די אפעראציע איז אסאציאטיוו: ווען a, b און c זענען מיטגלידער פון S, דאן זענען (a ∗ b) ∗ c און a ∗ (b ∗ c) גלייך.
טאמער א גרופע איז אויך קאמוטאטיוו—ד"ה פאר יעדע צוויי מיטגלידער a און b פון S, איז a ∗ b גלייך צו b ∗ a—דאמאלסט ווערט די גרופע גערופן אבעליש.
רינגען און פעלדער
א רינג האט צוויי בינארישע אפעראציעס (+) און (×), מיט × דיסטריבוטיוו איבער +. אונטער דעם ערשטן אפעראטאר (+) איז ער אן אבעלישע גרופע. אונטער דעם צווייטן אפעראטאר (×) איז ער אסאציאטיוו, אבער דארף נישט האבן א נייטראלן עלעמענט אדער אינווערסן. דעם נייטראלן עלעמענט פון צוגאב (+) שרייבט מען 0 און דעם אינווערס פון a פאר צוגאב שרייבט מען −a.
דיסטריבוטיוויטעט גענעראליזרט דעם דיסטריבוטיוו-געזעץ פאר נומערן. פאר די גאנצע צאלן (a + b) × c = a × c + b × c און c × (a + b) = c × a + c × b, און × ווערט גערופן דיסטריבוטיוו איבער +.
די גאנצע צאלן זענען א ביישפיל פון א רינג. די גאנצע צאלן האט נאך אייגשאפטן וואס צוזאמען מאכן זיי פאר אן אינטעגראלער געביט.
רעפערענצן
- ↑ Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 258 "In the arithmetical theorems in Euclid's Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's Algebra made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."
- ↑ Gattengo, Caleb (2010). The Common Sense of Teaching Mathematics. Educational Solutions Inc. ISBN 978-0878252206.
- ↑ "2010 Mathematics Subject Classification". Retrieved 5טן אקטאבער 2014.
{{cite web}}: Check date values in:|accessdate=(help)
דאס איז נישט קיין המכלול ארטיקל, בלויז עפעס וואס ליגט דא ביז עס וועט ערזעצט ווערן מיט בעסערס. שרייבט עס איבער!