רוי:גרופע טעאריע
אין מאטעמאטיק און אבסטראקטע אלגעברע, איז גרופע טעאריע די שטודיע פון א טיפ אלגעברעישער סטרוקטור וואס הייסט א גרופע. גרופע טעאריע ווערט געניצט אסאך אין מאטעמאטיק ווי דער אנהייב פונקט צו שטודירן פארשידענע אלגעברעישע סטרוקטורן, ווי אויך צוגעבן און טאפלען נומערן. אזוי ווי גרופע טעאריע איז אויך ניצבאר שטודירן סימעטריע אין נאטור און אבסטראקטע סיסטעמען, האט עס אסאך אנווענדונגען אין פיזיק און כעמיע.
דער באגריף פון א גרופע איז צענטראל אין אבסטראקטער אלגעברע: אנדערע באקאנטע אלגעברעאישע סטרוקטורן ווי רינגען, פעלדער, וועקטאר רוימען קען מען קוקן אויף זיי ווי גרופעס מיט נאך אפעראציעס און אקסיאמען.
גרופע טעאריע האט פעסטע פארבינדונגען מיט אנדערע צענטראלע געביטן אין מאטעמאטיק, צווישן זיי געאמעטריע, אלגעברעאישע טאפאלאגיע, קאמבינאטאריק און אריטמעטיק, ווי אויך מיט פארשידענע צווייגן פון פיזיק און כעמיע.
היסטאריע
גרופע טעאריע האט דריי ווארצלען: פארשונג פון אלגעברעאישע גלייכונגען, נומערן טעאריע און געאמעטריע. די ערשטע מאטעמאטיקער וואס האבן געארבעט אין דעם געביט זענען געווען אוילער, גאוס, לאגראנזש, אבל און ספעציעל עוואריסט גאלוא. גאלוא איז געווען דער ערשטער וואס האט געשאפן א פארקניפונג צווישן גרופע טעאריע און פעלד טעאריע, דורך דער טעאריע וואס מען רופט היינט גאלוא טעאריע.
דעפיניציע
א גרופע איז א געזעמל G וואס זיינע מיטגלידער רופט מען עלעמענטן. די עלעמענטן קענען זיי וואספארא נומערן, אדער אנדערע אבסטראקטע אביעקטן. ס'איז אויך פאראן א בינארישע אפעראציע וואס קאמבינירט וועלכע צוויי עלעמענטן פון G און דער רעזולטאט איז אויך אן עלעמענט פון G. דער רעזולטאט קען זיין אנדערש ווי די ערשטע צוויי עלעמענטן, אדער איינער פון זיי. כדי G מיט דער אפעראציע זאל זיין א גרופע, דארפן די פאלגנדע פיר באדינגען האלטן:
- פארשליסונג: ווען די אפעראציע ווערט געניצט אויף צוויי עלעמענטן אין דער גרופע, איז דער רעזולטאט עלעמענט אויך א מיטגליד אין דער גרופע:
- פאר יעדע a, b אין G, דער רעזולטאט פון דער אפעראציע a • b איז אויך אין G.
- אַסאציאטיוויטעט: ווען מען ווענדט די אפעראציע מערערע מאל, עס ארט נישט אין וועלכן סדר מען רעכנט, קומט אויס אלעמאל דעם זעלבן רעזולטאט:
- פאר יעדן a, b און c אין G, האלט די גלייכונג (a • b) • c = a • (b • c) .
- אידענטיטעט עלעמענט: איין עלעמענט פון דער גרופע איז באזונדער. ער הייסט דער אידענטיטעט עלעמענט. ווען די אפעראציע ווערט געניצט מיטן אידענטיטעט עלעמענט און אן אנדער עלעמענט, דער אנדער עלעמענט ווערט נישט געענדערט:
- ס'עקזיסטירט אן עלעמענט e אין G, אז פאר יעדן עלעמענט a אין G, האלט די גלייכונג e • a = a • e = a .
- אינווערסער עלעמענט: יעדער עלעמענט אין דער גרופע האט אן עלעמענט אין דער גרופע וואס, ווען די אפעראציע ווערט דורכגעפירט צווישן זיי, איז דער רעזולטאט דער אידענטיטעט עלעמענט. מען רופט יענעם עלעמענט זיין אינווערס:
- פאר יעדן a אין G, ס'עקזיסטירט אן עלעמענט b אין G אז a • b = b • a = e, וואו e איז דער אינדענטיטעט עלעמענט.
האמאמארפיזם
א האמאמארפֿיזם צווישן צווי גרופעס איז א טראנספערמאציע וואס פרעזערווירט די אפעראציע אין דער גרופע. דאס הייסט:
- (f(a*b)=f(a)*f(b
אין דעם פאל, דער ערשטער האמאמרפיזם טעארעם זאגט אז G/ker f=~Im f
ביישפילן
Z/nZ איז א גרופע מיט די אפאראציע '+'. די גרופע איז א ציקלישע גרופע.
די גרופע פון פערמוטאציעס Sn איז אויך א גרופע, דעם איז א ביישפיל פון א נישט אבעלישע גרופע. דער צו, קייליס טעארעם זאגט אז יעדע ענדלעך גרופע איז אן אונטער-גרופע פון Sn.