רוי:דעריוואטיוו

אַ פונקציע (שוואַרץ) מיט זיין באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.

א דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע ביי א פונקט. א דעריוואַטיוו באַשרייבט די וואַקסיקייט פון אַ פונקציע. דער היפּוך פון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפונען געווענליך אין מאַטעמאַטיק און פיזיק.

אין פיזיק, דער דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פון גיכקייט איז פאַרגיכערונג.

דעפיניציע

א שניידלינע ווערט א באריר-לינע ווען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x \to 0} .

דערמאַנט זיך אַז די פונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז $y(x)=ax+b$. דער וואַריאבל $a$ איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען $x_{1}\neq x_{2}$:

${\begin{aligned}a&={\frac {y(x_{2})-y(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\end{aligned}}$

דעריבער א שניידלינע (secant) וואָס שניידט זיך איבער א פונקצע $f(x)$ ביי $x=x_{1}$ און $x=x_{2}$ האָט דעם באַרגנייג

${\begin{aligned}a(x_{1},x_{2})&={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}$

ווען $x_{1},x_{2}$ זענעך נאָענט איז $a(x_{1},x_{2})$ בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זיין $x_{2}\to x_{1}$. בכן איז $a=a(x_{1})$ אַן איינבאַטרעפיקע פונקציע. מ'רופט $a(x)$ דעם דעריוואַטיוו פון $f(x)$.

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי $f'(x)$ צי ${\frac {d}{dx}}f(x)$. טאָ מען שרייבט:

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{x_{2}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{2})}{x-x_{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל $x-x_{2}=h$.

דעריוואַטיוו טעאָרעמען

פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפן אונדז צו געפינען דעם דעריוואַטיוו.

כּפלען מיט א שטענדיקער גרייס

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(cf(x))=cf'(x)\end{aligned}}$

סך־הכּל־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע פּלוס אַ פונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(f(x)+g(x)\right)=f'(x)+g'(x)\end{aligned}}$

קייט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע פון א פונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)\end{aligned}}$

פּראָדוקט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פון צוויי פונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\end{aligned}}$

ביישפּילן

קוואַדראַטישע פונקציע

בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פונקציע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x^2 } (קוואַדראַטישע פונקציע) ניצנדיק דער דעפיניציע

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^2 &= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} (2x+h)\\ \ &= 2x \end{align} }

אָדער זינט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} x=1 } (זעט "דעפיניציע" אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^2 &= \frac{d}{dx}(x\cdot x)\\ \ &= \left(\frac{d}{dx}x\right)x+x\left(\frac{d}{dx}x\right)\\ \ &= (1)x+x(1)\\ \ &= 2x\\ \end{align} }

קוואַדראַט־וואָרצל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\sqrt{x} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ \ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \end{align} }

דער בלאט קומט פון יידיש-וויקיפעדיע.
אריגינעלער בלאט • ערלויבעניש cc-by-sa 3.0.

דאס איז נישט קיין המכלול ארטיקל, בלויז עפעס וואס ליגט דא ביז עס וועט ערזעצט ווערן מיט בעסערס. שרייבט עס איבער!