רוי:סינוס

דער סינוס איז אַ פּעריאָדישע pונקציע וואָס מען באַניצט אין מאַטעמאַטיק און pיזיק. דער אַרגומענט pונעם סינוס איז בכלל אַ רעאלע צאל, און דער ווערט פונעם סינוס ליגט צווישן 1- און 1+. pונדעסטוועגן, קען דער אַרגומענט זײַן אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

די סינוס pונקציע איבר איין פּיריאָד.

טריגאָנאָמעטריע

אויף טריגאָנאָמעטריע ווערט דער סינוס דעpינירט דורכן גראָדווינקלדיקן דרײַעק. דער סינוס גלײַכט דעם וויpלער צווישן דער אַריכות pון דער זײַט להיפּוך דעם ווינקל און דער אַריכות pון דער היפּאָטענוז. אָט, איז sin(θ) די הייך pון אַ פּונקט אויף אַ קרײַז מיט אַ ווינקל θ אויב דער קרײַז האָט אַן איינעם ראַדיוס. דעסגלײַכן, דער קאָסינוס איז די ברייטקייט pון אָט דעם פּונקט. דערpאר, איז דער סינוס (און קאָסינוס) 2π פּעריאָדיש. דער סינוס און קאָסינוס געהערן אָן דורך דעם גלײַכונג:

$\sin(\pi /2-\theta )=\cos \theta$

דער סינוס (רויט) און דער קאָסינוס (בלוי) ווי פּונקטן אויף אַ קרײַז.

לויט דעם פּיטאַגאָראַס פּרינציפּ, די דרײַ זײַטן pון אַ גראָדווינקלדיקן דרײַעק (a, b, היפּאָטענוז: c) ווערן פֹאַרבונדן דורך דער גלײַכונג:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

טאָ, די באַשרײַבונג דערויף באַווײַזט אַז

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$

קאַלקולוס

עס זײַנען דאָ עטלעכע pאָרמען pאַרן סינוס pון קאַלקולוס.

טיילאָרס ריי (אויף ענגליש: Taylor's Series):

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

אָנסוpיקע בראָכצאָל (אויף ענגליש: Continued fraction):

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

ווײַערשטראַס פּראָדוקט (אויף ענגליש: Weierstrass Product):

${\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\Bigl (}1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}$

אָט די פֹאָרעמען דערלאזן אַז דער אַרגומענט איז אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

דער סינוס האָט די אייגנען:

$(\sin \theta )'=\cos \theta$

$\int \sin \theta \,d\theta =-\cos \theta +C$

קאָמפּלעקסער אַנאַליז

אויך, דער סינוס און קאָסינוס זײַנען אינעם באַרימטן אוילערס גלײַכונג (אויף ענגליש: Euler's formula):

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

טאָ, האָבן מיר די pאָרעמען

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

פֹאַר אַלע $\theta \in \mathbb {R}$.