רוי:שרעדינגער גלייכונג

די שרעדינגער־גלײַכונג איז אַ דיפערענציאַל־גלײַכונג, וואָס משלט אָפּ דעם אויפפיר פון אַ טיילעכל אָדער אַ גרופּע פון טיילעכלעך. זי איז די הויפּט גלײַכונג פון קוואַנטן־מעכאַניק.

די גלײַכונג איז אַרױסגעדרונגען געוואָרן אין 1926 דורך דעם באַוואוסט פיזיקער, ערווין שרעדינגערן. שרעדינגער האָט געוואונען די נאָבל־פּרעמיע צוליב דעם.

מען קען באַשיידן די שרעדינגער גלײַכונג כּדי פעסצוטשטעלן די ענערגיע און די כוואַליע־פונקציע פון אַ טיילעכל. די כוואַליע־פונקציע קען מען באַניצן כּדי פעסצוטשטעלן אַלץ וועגן דעם טיילעכל.

עטלעכע זאַכן שטעלט מען פעסט פון דער גלײַכונג. קודם־כּל,איז די ענערגיע פון אַ טיילעכל נישט כּסדריק. די ענערגיע ווערט געמאַכט פון קוואַנטן פון קליינע שטיקעלעך ענערגיע. צווייטנס, דאַרפן די ענערגיע, פּלאַצירן, מאָמענטום, אאַ"וו נישט זײַן באַשטימט. די וואַריאַבלען קענען זײַן משמעותדיק דערפאַר: אויב מען וואָלט געמאָסטן אייעם פון די וואַריאַבלען אַ פּאָר מאָל וואָלט מען געקענט מעסטן פאַרשיידענע גרייסן. פאַקטיש, מעסטונגן געוויסן מוז דווקא בײַטן דעם טיילעכל. במילא, קען מען נישט ווייסן ביידע פּלאַצן און מאָמענטום פון אַ טיילעכל אין איין מאָל, למשל (הײַזנבערג אומזיכערקייט פּריציפּ ).

געוויינטלעך זעט מען נישט אָט די פענאָמענען ווײַל קוואַנטישע עפעקטן זענען זייער קליין. למשל, בלויע ליכט איז געמאַכט געוואָרן פון קוואַנטן פון נאָר $2.8\times 10^{-19}\,J$ ענערגיע. אַז מען קלײַבט צוזאַמען אַ סך טיילעכלעך, פאַרשװינדן קוואַנטן עפעקטן .

עס זענען פאַראַן פאַרשיידענע אינטערפּרעטאַטציעס פון קוואַנטישע עפעקטן. לויט דער קאָפּנהאַגן אינטערפּרעטאַטציע, האָבן טיילעכלעך נישט דווקא קיין באַשטימטע ענערגיע, פּלאַצירן אָדער מאָמענטום בשעת עס ווערט געמאָסטן. די „אַ סך וועלטן" אינטערפּרעטאַטציע דערקלערט אַז יעדער מעסטונג שפּאַלט די אַלוועלט אַ סך אַלוועלטן, און יעדער אַלוועלט גיט אַן אַנדער מעסטונג.

גלײַכונג

די אַרומנעמיקע שרעדינגער גלײַכונג איז

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle$

וואו i איז די קאָמפּלעקסע צאָל, ħ איז די פאַרקלענערטע פּלאַנקס צאָל, און $\vert \Psi (t)\rangle$ איז די כוואַליע־פונקציע. ${\hat {H}}$ איז דער האַמילטאָניאַן (Hamiltonian אויףֿ ענגליש), וואָס איז גלײַך אויףֿ מיט

${\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)$

וואו V איז דער פּאָטענציאַל.

די צײַט־אומאָפּהענגיקע שרעדינגער גלײַכונג איז

$\operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$

וואו E איז ענערגיע און

$\vert \Psi (t)\rangle =\vert \Psi (t=0)\rangle e^{-iEt/\hbar }$.

דאָס פאָרעם איז אַן אייגנגלײַכונג (Eigenequation אויףֿ ענגליש).

די כוואַליע־פונקציע

די כוואַליע־פונקציע איז די פונקציע, וואָס שילדערט דעם אויפפיר פון אַ טיילעכל. די כוואַליע־פונקציע איז דווקא אַ וועקטאָר, וואָס זײַן באַזע קען מען בײַטן. איז די כוואַליע־פונקציע אין דער אָרטישער באַזע

$\langle x\vert \Psi (t)\rangle =\Psi (x,t)$

און אין דער מאָמענטומישער באַזע

$\langle p\vert \Psi (t)\rangle =\Psi (p,t)$.

די כוואַליע־פונקציע מוז ווערן נאָרמאַליזירט:

$\langle \Psi (t)\vert \Psi (t)\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x,t)|^{2}\,dx=1$.

דערנאָך, איז די משמעותדיקייט צעטיילונג וואָס באַשרײַבט דעם פּלאַץ פון אַ טיילעכל

$P(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}$.

אויב ${\hat {O}}$ איז אַ הערמיטיאַן אָפּעראַטאָר מיט אַן ענטפערדיקער מעסטונג O, דער אַרוסקוק (ד"ה דער דורכשנוט) פון ${\hat {O}}$ איז

$E[{\hat {O}}]=\langle \Psi |{\hat {O}}|\Psi \rangle$

אין דער אָרטישער באַזע למשל:

$E[{\hat {O}}]=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,t){\hat {O}}\Psi (x,t)\,dx$.

לדוגמא, איז אין דער אָרטישער באַזע דער מאָמענטום אָפּעראַטאָר

${\hat {P}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$.

טאָ, דער מאָמענטומישער אַרוסקוק ווערט:

${\begin{aligned}E[{\hat {P}}]&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,t){\frac {d\Psi (x,t)}{dx}}\,dx\\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\left(\Psi ^{*}(x,t=0)e^{+iEt/\hbar }\right)\left({\frac {d\Psi (x,t=0)}{dx}}e^{-iEt/\hbar }\right)\,dx\\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,t=0){\frac {d\Psi (x,t=0)}{dx}}\,dx\end{aligned}}$

באַזונדערש, אויב מע וואָלט געמאָסטן O פון דעם אָפּעראַטאָר ${\hat {O}}$, וואָלט מען געהאַט די גלײַכונג:

${\hat {O}}|\Psi \rangle =O|\Psi \rangle$

און דערפאַר

$E[{\hat {O}}]=\langle \Psi |{\hat {O}}|\Psi \rangle =\langle \Psi |O|\Psi \rangle =O$.