רוי:סינוס

דער סינוס איז אַ פּעריאָדישע פונקציע וואָס מען באַניצט אין מאַטעמאַטיק און פיזיק. דער אַרגומענט פונעם סינוס איז בכלל אַ רעאלע צאל, און דער ווערט פונעם סינוס ליגט צווישן 1- און 1+. פונדעסטוועגן, קען דער אַרגומענט זײַן אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

די סינוס פונקציע איבר איין פּיריאָד.

טריגאָנאָמעטריע

אויף טריגאָנאָמעטריע ווערט דער סינוס דעפינירט דורכן גראָדווינקלדיקן דרײַעק. דער סינוס גלײַכט דעם וויpלער צווישן דער אַריכות פון דער זײַט להיפּוך דעם ווינקל און דער אַריכות פון דער היפּאָטענוז. אָט, איז sin(θ) די הייך פון אַ פּונקט אויף אַ קרײַז מיט אַ ווינקל θ אויב דער קרײַז האָט אַן איינעם ראַדיוס. דעסגלײַכן, דער קאָסינוס איז די ברייטקייט פון אָט דעם פּונקט. דערפאר, איז דער סינוס (און קאָסינוס) 2π פּעריאָדיש. דער סינוס און קאָסינוס געהערן אָן דורך דעם גלײַכונג:

$\sin(\pi /2-\theta )=\cos \theta$

דער סינוס (רויט) און דער קאָסינוס (בלוי) ווי פּונקטן אויף אַ קרײַז.

לויט דעם פּיטאַגאָראַס פּרינציפּ, די דרײַ זײַטן פון אַ גראָדווינקלדיקן דרײַעק (a, b, היפּאָטענוז: c) ווערן פֹאַרבונדן דורך דער גלײַכונג:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

טאָ, די באַשרײַבונג דערויף באַווײַזט אַז

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$

קאַלקולוס

עס זײַנען דאָ עטלעכע פאָרמען פאַרן סינוס פון קאַלקולוס.

טיילאָרס ריי (אויף ענגליש: Taylor's Series):

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

אָנסופיקע בראָכצאָל (אויף ענגליש: Continued fraction):

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

ווײַערשטראַס פּראָדוקט (אויף ענגליש: Weierstrass Product):

${\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\Bigl (}1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}$

אָט די פֹאָרעמען דערלאזן אַז דער אַרגומענט איז אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

דער סינוס האָט די אייגנען:

$(\sin \theta )'=\cos \theta$

$\int \sin \theta \,d\theta =-\cos \theta +C$

קאָמפּלעקסער אַנאַליז

אויך, דער סינוס און קאָסינוס זײַנען אינעם באַרימטן אוילערס גלײַכונג (אויף ענגליש: Euler's formula):

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

טאָ, האָבן מיר די פאָרעמען

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

פֹאַר אַלע $\theta \in \mathbb {R}$.