רוי:דעריוואטיוו

אַ פונקציע (שוואַרץ) מיט זײַן באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.

א דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע בײַ א פונקט. א דעריוואַטיוו באַשרייבט די וואַקסיקייט פון אַ פונקציע. דער היפּוך פון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פיזיק.

אין פיזיק, דער דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פון גיכקייט איז פאַרגיכערונג.

דעפיניציע

א שנײַדלינע ווערט א באריר-לינע ווען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x \to 0} .

דערמאַנט זיך אַז די פונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)=ax+b } . דער וואַריאבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1\neq x_2 } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a &= \frac{y(x_2) - y(x_1)}{x_2 - x_1}\\ &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align} }

דעריבער א שנײַדלינע (secant) וואָס שנײַדט זיך איבער א פונקצע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} בײַ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_1 } און $x=x_{2}$ האָט דעם באַרגנייג

${\begin{aligned}a(x_{1},x_{2})&={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}$

ווען הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,x_2} זענעך נאָענט איז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(x_1,x_2) } בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2 \to x_1} . בכן איז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=a(x_1) } אַן איינבאַטרעפיקע פונקציע. מ'רופט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(x) } דעם דעריוואַטיוו פון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } .

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) } צי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} f(x) } . טאָ מע שרײַבט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} f'(x) &= \lim_{x_2\to x}\frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align} }

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x-x_2=h } .

דעריוואַטיוו טעאָרעמען

פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפן אונדז צו געפינען דעם דעריוואַטיוו.

כּפלען מיט א שטענדיקער גרייס

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}(cf(x)) = cf'(x) \end{align} }

סך־הכּל־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע פּלוס אַ פונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right) = f'(x)+g'(x) \end{align} }

קייט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פונקציע פון א פונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \end{align} }

פּראָדוקט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פון צוויי פונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}f(x)g(x) = f'(x)g(x)+g'(x)f(x) \end{align} }

בײַשפּילן

קוואַדראַטישע פונקציע

בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פונקציע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = x^2 } (קוואַדראַטישע פונקציע) ניצנדיק דער דעפיניציע

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^2 &= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} (2x+h)\\ \ &= 2x \end{align} }

אָדער זינט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} x=1 } (זעט „דעפיניציע“ אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}x^2 &= \frac{d}{dx}(x\cdot x)\\ \ &= \left(\frac{d}{dx}x\right)x+x\left(\frac{d}{dx}x\right)\\ \ &= (1)x+x(1)\\ \ &= 2x\\ \end{align} }

קוואַדראַט־וואָרצל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\sqrt{x} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ \ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ \ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \end{align} }