רוי:סינוס

דער סינוס איז אַ פּעריאָדישע פונקציע וואָס מען באַניצט אין מאַטעמאַטיק און פיזיק. דער אַרגומענט פונעם סינוס איז בכלל אַ רעאלע צאל, און דער ווערט פונעם סינוס ליגט צווישן 1- און 1+. פונדעסטוועגן, קען דער אַרגומענט זיין אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

די סינוס פונקציע איבר איין פּיריאָד.

טריגאָנאָמעטריע

אויף טריגאָנאָמעטריע ווערט דער סינוס דעפינירט דורכן גראָדווינקלדיקן דרייעק. דער סינוס גלייכט דעם וויפלער צווישן דער אַריכות פון דער זייט להיפּוך דעם ווינקל און דער אַריכות פון דער היפּאָטענוז. אָט, איז sin(θ) די הייך פון אַ פּונקט אויף אַ קרייז מיט אַ ווינקל θ אויב דער קרייז האָט אַן איינעם ראַדיוס. דעסגלייכן, דער קאָסינוס איז די ברייטקייט פון אָט דעם פּונקט. דערפאר, איז דער סינוס (און קאָסינוס) 2π פּעריאָדיש. דער סינוס און קאָסינוס געהערן אָן דורך דעם גלייכונג:

$\sin(\pi /2-\theta )=\cos \theta$

דער סינוס (רויט) און דער קאָסינוס (בלוי) ווי פּונקטן אויף אַ קרייז.

לויט דעם פּיטאַגאָראַס פּרינציפּ, די דריי זייטן פון אַ גראָדווינקלדיקן דרייעק (a, b, היפּאָטענוז: c) ווערן פֹאַרבונדן דורך דער גלייכונג:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

טאָ, די באַשרייבונג דערויף באַווייזט אַז

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$

קאַלקולוס

עס זענען דאָ עטליכע פאָרמען פאַרן סינוס פון קאַלקולוס.

טיילאָרס ריי (אויף ענגליש: Taylor's Series):

${\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}$

אָנסופיקע בראָכצאָל (אויף ענגליש: Continued fraction):

$\sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.$

ווייערשטראַס פּראָדוקט (אויף ענגליש: Weierstrass Product):

${\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\Bigl (}1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}{\Bigr )}.\end{aligned}}$

אָט די פֹאָרעמען דערלאזן אַז דער אַרגומענט איז אַ קאָמפּלעקסע צאָל.

דער סינוס האָט די אייגנען:

$(\sin \theta )'=\cos \theta$

$\int \sin \theta \,d\theta =-\cos \theta +C$

קאָמפּלעקסער אַנאַליז

אויך, דער סינוס און קאָסינוס זענען אינעם באַרימטן אוילערס גלייכונג (אויף ענגליש: Euler's formula):

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

טאָ, האָבן מיר די פאָרעמען

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

פֹאַר אַלע $\theta \in \mathbb {R}$.

דער בלאט קומט פון יידיש-וויקיפעדיע.
אריגינעלער בלאט • ערלויבעניש cc-by-sa 3.0.

דאס איז נישט קיין המכלול ארטיקל, בלויז עפעס וואס ליגט דא ביז עס וועט ערזעצט ווערן מיט בעסערס. שרייבט עס איבער!