אונטערשייד צווישן ווערסיעס פון "רוי:קוואדראטצאל"

יעצטיגע רעוויזיע זינט 11:10, 8 יולי 2024

אין מאטעמאטיק, איז א קוואדראטצאל א גאנצע צאל וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל, 9 איז א קוואדראטצאל, ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען נישט-נעגאטיוו. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר קוואדראט ווארצל איז אויך א גאנצע צאל. למשל, √9 = 3, טא איז 9 א קוואדראטצאל.

געווענליך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער n נישט דעם פראדוקט n × n, נאר דעם עקוויוואלענט עקספאנענציאציע n², ארויסגערעדט "n קוואדראטירט". זענען דא $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ קוואדראטצאלן ביז n (עד ועד בכלל).

ביישפילן

די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

אייגנקייטן

דער נומער m איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען m פונקטן אין א קוואדראט:

1²=1
2²=4
3²=9
4²=16
5²=25

די nטע קוואדראטצאל n² איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע n נומען ( $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$ ), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+'). למשל, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די nקוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (n − 1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (n − 2)טן קוואדראט, און צולייגן 2:
( $n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ ). למשל, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

ס'איז כדאי צו באמערקן אז דh קוואדראטצאל פון יעדן נומער קען מען אויסרעכענען אלס א סומע 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n – 1 + n – 1 + n. למשל, די קוואדראטצאל פון 4 אדער 4² איז גלייך מיט 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.

א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע דרייעקיקע צאל.

א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנד:

אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיגער ציפערן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיגע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין גראד.
אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיגע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין נומיק.
אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.

א גרינגן וועג צו קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 21²‏: 20 און 22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440 + 1² = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (x – y)(x + y) ‏= x² – y²

באקאנט אלס דער דיפערענץ פון צוויי קוואדראטן. אזוי (21 – 1)(21 + 1) = 21² – 1² = 440, אז מען רעכנט צוריקוועגס.

א קוואדראטצאל קען נישט זיין קיין פערפעקטע צאל.

נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן

דער קוואדראט פון א גראדער צאל איז גראד, ווייל ‎(2n)² = 4n².

דער קוואדראט פון א נומיקער צאל איז נומיק, ווייל ‎(2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

אזוי אויך איז דער קוואדראט ווארצל פון א גראדער קוואדראטצאל גראד, און דער קוואדראט ווארצל פון א נומיקער צאל נומיק.

טשענ'ס טעארעם

טשען זשינגרון האט געוויזן אין 1975 אז עס איז שטענדיק דא א צאל P וואס איז אדער א פרימצאל אדער א פראדוקט פון צוויי פרימצאלן צווישן n² און ‎(n+1)².

צו ליינען ווייטער

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

דרויסנדיגע לינקס

Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
Fibonacci and Square Numbers at Convergence

דער בלאט קומט פון יידיש-וויקיפעדיע.
אריגינעלער בלאט • ערלויבעניש cc-by-sa 3.0.

דאס איז נישט קיין המכלול ארטיקל, בלויז עפעס וואס ליגט דא ביז עס וועט ערזעצט ווערן מיט בעסערס. שרייבט עס איבער!

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+{{דעסקריפציע||ענגליש = product of some integer with itself|דייטש=Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht|}}
 אין [[מאטעמאטיק]], איז א '''קוואדראטצאל''' א [[גאנצע צאל]] וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל, 9 איז א קוואדראטצאל, ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען [[נישט-נעגאטיוו]]. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר [[קוואדראט ווארצל]] איז אויך א גאנצע צאל. למשל,<span dir=ltr> √9 = 3</span>, טא איז 9 א קוואדראטצאל.
@@ שורה 101: / שורה 102: @@
 א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע [[דרייעקיקע צאל]].
-א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנדיק:
+א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנד:
-# אז דער לעצטער ציפער פון א  [[צאל]] איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיקער [[ציפער]]ן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א  [[צאל]] איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיגער [[ציפער]]ן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
-# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיגע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
-# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין גראד.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין גראד.
-# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיגע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
-# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין '''נומיק'''.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין '''נומיק'''.
-# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.
+# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיגער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.
 א גרינגן וועג צו  קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 21<sup>2</sup>{{ר}}: 20 און  22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440&nbsp;+&nbsp;1<sup>2</sup> = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (''x''&nbsp;–&nbsp;''y'')(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'') {{ר}}= ''x''<sup>2</sup>&nbsp;–&nbsp;''y''<sup>2</sup>
@@ שורה 130: / שורה 131: @@
 * Conway, J. H. and Guy, R. K. ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
-== וועבלינקען ==
+==דרויסנדיגע לינקס==
 * Dario Alpern, [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Sum of squares]. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
 * [http://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1296&bodyId=1433 Fibonacci and Square Numbers] at [http://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
@@ שורה 137: / שורה 138: @@
 [[קאַטעגאָריע:נומערן]]
 [[קאַטעגאָריע:אריטמעטיק]]
-[[קאַטעגאָריע:אומבאקוקט]]
+[[קאַטעגאָריע:אויף יידיש]]
-[[קאַטעגאָריע:אויף יידיש]]
+[[קאַטעגאָריע:וויכטיגע ארטיקלען]]
 {{קרד/ויקי/יידיש}}
+[[he:מספר ריבועי]]

אונטערשייד צווישן ווערסיעס פון "רוי:קוואדראטצאל"

יעצטיגע רעוויזיע זינט 11:10, 8 יולי 2024

אינהאַלט

ביישפילן

אייגנקייטן

נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן

טשענ'ס טעארעם

צו ליינען ווייטער

דרויסנדיגע לינקס

נאוויגאציע מעניו

אונטערשייד צווישן ווערסיעס פון "רוי:קוואדראטצאל"

יעצטיגע רעוויזיע זינט 11:10, 8 יולי 2024

ביישפילן

אייגנקייטן

נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן

טשענ'ס טעארעם

צו ליינען ווייטער

דרויסנדיגע לינקס

נאוויגאציע מעניו

זוכן