מייבאים כמותיים, בדוקי עריכות אוטומטית, ביוראקראטן, אינטערפעיס רעדאקטארן, emailconfirmed, אינטערפעיס אדמיניסטראַטאָרן, מנטרים, סיסאפן, צוות טכני, מייבאים, מעדכנים, אספקלריה רעדאקטארן
102,362
רעדאגירונגען
ק
החלפת טקסט – "{{דעסקריפציע||ענגליש=" ב־"{{דעסקריפציע||ענגליש = "
ק (אינערליכע פארבינדונגען) |
ק (החלפת טקסט – "{{דעסקריפציע||ענגליש=" ב־"{{דעסקריפציע||ענגליש = ") |
||
| (8 מיטלסטע ווערסיעס פון 4 באַניצער נישט געוויזן.) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
{{דעסקריפציע||ענגליש = part of mathematics in which letters and other symbols are used to represent numbers and quantities in formulae and equation|דייטש=Teilgebiet der Mathematik|}} | |||
'''אלגעברע''' <small>(שטאמט פון [[אראביש]]: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג")</small> איז א געביט אין [[מאטעמאטיק]] וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע [[אלגעברעישע סטרוקטור|סטרוקטורן]]. אין אלגעמיין, באהאנדלט אלגעברע מיט פארשידענע סימבאלן אנשטאט אדער געמישט מיט [[נומער]]ן. | '''אלגעברע''' <small>(שטאמט פון [[אראביש]]: أَلْجَبْر "אַל-דזשאַבער" וואס מיינט "די טוישונג")</small> איז א געביט אין [[מאטעמאטיק]] וואס באהאנדלט אפעראטארן, פונקציעס און רעלאציעס אין געוויסע [[אלגעברעישע סטרוקטור|סטרוקטורן]]. אין אלגעמיין, באהאנדלט אלגעברע מיט פארשידענע סימבאלן אנשטאט אדער געמישט מיט [[נומער]]ן. | ||
| שורה 11: | שורה 12: | ||
עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון [[אריטמעטיק]], וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג <math>x + 2 = 5</math> איז דער אות <math>x</math> אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: <math>x=3</math>. אין דער גלייכונג [[E=mc²|''E'' = ''mc''<sup>2</sup>]], זענען די בוכשטאבן <math>E</math> און <math>m</math> וואריאבלען, און דער בוכשטאב <math>c</math> איז א קאנסטאנט וואס באדייט די גיך פון ליכט אין א וואקואום. אלגעברע פארזארגט מעטאדן צו שרייבן פארמלען און לייזן גלייכונגען וואס זענען קלארער ווי דער היסטארישער מעטאד פון שרייבן אלץ מיט ווערטער. | עלעמענטארע אלגעברע איז אנדערש פון [[אריטמעטיק]], וואס האנדלט מיט נומערן. עלעמענטארע אלגעברע ניצט בוכשטאבן פאר נומערן וואס זענען אדער אומבאוואוסט אדער קענען האבן מערערע ווערטן. צום ביישפיל, אין דער גלייכונג <math>x + 2 = 5</math> איז דער אות <math>x</math> אן אומבאוואוסטער ווערט, אבער מען קען דערגיין זיין ווערט מיט דעם געזעץ פון אינווערסן: <math>x=3</math>. אין דער גלייכונג [[E=mc²|''E'' = ''mc''<sup>2</sup>]], זענען די בוכשטאבן <math>E</math> און <math>m</math> וואריאבלען, און דער בוכשטאב <math>c</math> איז א קאנסטאנט וואס באדייט די גיך פון ליכט אין א וואקואום. אלגעברע פארזארגט מעטאדן צו שרייבן פארמלען און לייזן גלייכונגען וואס זענען קלארער ווי דער היסטארישער מעטאד פון שרייבן אלץ מיט ווערטער. | ||
עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק | עלעמענטארע אלגעברע ווערט ברייכט בארעכענט שטארק נויטיג כדי צו שטודירן מאטעמאטיק, וויסנשאפט אדער אינזשעניריע, און אויך פאר אנדערע דיסציפלינען ווי מעדיצין און עקאנאמיק. | ||
== עטימאלאגיע == | == עטימאלאגיע == | ||
| שורה 18: | שורה 19: | ||
== אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק == | == אלגעברע: א צווייג פון מאטעמאטיק == | ||
אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון [[אריטמעטיק]], אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.<ref name=citeboyer /> דאס האט | אלגעברע האט אנגעהויבן מיט קאמפוטאציעס גאנץ ענדלעך צו די קאמפוטאציעס פון [[אריטמעטיק]], אבער מיט בוכשטאבן אנטשטאט נומערן.<ref name=citeboyer /> דאס האט ערלויבט באווייזן פון אייגנשאפטן וואס זענען וואר פאר אלע נומערן. למשל, אין דער [[קוואדראטישע גלייכונג|קוואדראטישער גלייכונג]] | ||
:<math>ax^2+bx+c=0,</math> | :<math>ax^2+bx+c=0,</math> | ||
קענען <math>a, b, c</math> רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז <math>a</math> טאר נישט זיין גלייך צו <math>0</math>), דעמאלסט קען מען ניצן די [[קוואדראטישע פארמל]] צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט <math>x</math> וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד"ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג. | קענען <math>a, b, c</math> רעפרעזענטירן נארוועלכע נומערן (בתנאי אז <math>a</math> טאר נישט זיין גלייך צו <math>0</math>), דעמאלסט קען מען ניצן די [[קוואדראטישע פארמל]] צו דערגיין גאנץ גיך און גרינג די ווערטן פון דעם אומבאוואוסטן קוואנטיטעט <math>x</math> וואס באפרידיקט די גלייכונג; ד"ה מען קען געפינען אלע לייזונגען פון דער גלייכונג. | ||
| שורה 29: | שורה 30: | ||
== אבסטראקטע אלגעברע == | == אבסטראקטע אלגעברע == | ||
'''אבסטראקעט אלגעברע''' פארברייטערט באגריפן וואס מען טרעפט אין עלעמנטארער אלגעברע און [[אריטמעטיק]] צו מער אלגעמיינע באגריפן. דא זענען די | '''אבסטראקעט אלגעברע''' פארברייטערט באגריפן וואס מען טרעפט אין עלעמנטארער אלגעברע און [[אריטמעטיק]] צו מער אלגעמיינע באגריפן. דא זענען די גרונטליכע באגריפן און אבסטראקטער אלגעברע. | ||
'''[[געזעמל (מאטעמאטיק)|געזעמלען]]''': ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן [[צאל]]ן, באהאנדלט אבסטראקטע אלגעברע דעם מער אלגעמיינעם באגריף פון ''געזעמלען'': א זאמלונג פון אלע אביעקטן (וואס מען רופט [[עלעמענט (מאטעמאטיק)|עלעמענטן]]) געקליבן מיט אן אייגנשאפט ספעציפיש צום געזעמל. למשל, די זאמלונגען פון רעאלע צאלן און קאמפלעקסע צאלן זענען ביידע געזעמלען. אנדערע ביישפילן זענען דער געזעמל פון צוויי־אויף־צוויי [[מאטריץ|מאטריצן]], דער געזעמל פון צווייטער־גראד [[פאלינאם|פאלינאמען]] (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), דער געזעמל פון צוויי־דימענסיאנעלע [[וועקטאר]]ן אין דעם פלוין, און די פארשידענע [[ | '''[[געזעמל (מאטעמאטיק)|געזעמלען]]''': ליבערשט ווי באטראכטן די פארשידענע סארטן [[צאל]]ן, באהאנדלט אבסטראקטע אלגעברע דעם מער אלגעמיינעם באגריף פון ''געזעמלען'': א זאמלונג פון אלע אביעקטן (וואס מען רופט [[עלעמענט (מאטעמאטיק)|עלעמענטן]]) געקליבן מיט אן אייגנשאפט ספעציפיש צום געזעמל. למשל, די זאמלונגען פון רעאלע צאלן און קאמפלעקסע צאלן זענען ביידע געזעמלען. אנדערע ביישפילן זענען דער געזעמל פון צוויי־אויף־צוויי [[מאטריץ|מאטריצן]], דער געזעמל פון צווייטער־גראד [[פאלינאם|פאלינאמען]] (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), דער געזעמל פון צוויי־דימענסיאנעלע [[וועקטאר]]ן אין דעם פלוין, און די פארשידענע [[ענדליכע גרופעס]] ווי למשל די [[ציקלישע גרופע]]ס. [[געזעמלען טעאריע]] איז עכט א צווייג פון [[לאגיק]] און טעכניש נישט קיין צווייג פון אלגעברע. | ||
'''[[בינארישע אפעראציע]]ס''': דער באגריף פון [[צוגאב]] (+) ווערט אבסטראקטירט צו שאפן א ''בינארישע אפעראציע'', וואס מען קען שרייבן ∗ . דער באגריף פון בינארישער אפעראציע האט נישט קיין באדייט אן דעם געזעמל אויף וואס די אפעראציע ווערט דעפינירט. פאר צוויי עלעמענטן ''a'' און ''b'' אין א געזעמל ''S'', איז ''a'' ∗ ''b'' נאך אן עלעמענט אין דעם זעלבן געזעמל; דעם תנאי רופטו מען [[פארשלאסנקייט (מאטעמאטיק)|פארשלאסנקייט]]. [[צוגאב]] (+), [[אראפנעם]] (−), [[טאפלונג|טאפלען]] (×), און [[צעטיילן]] (÷) קענען זיין בינארישע אפעראציעס ווען זיי זענען דעפינירט אויף פארשידענע געזעמלען, ווי אויך צוגאב און טאפלונג פון מאטריצן, וועקטארן און פאלינאמען. | '''[[בינארישע אפעראציע]]ס''': דער באגריף פון [[צוגאב]] (+) ווערט אבסטראקטירט צו שאפן א ''בינארישע אפעראציע'', וואס מען קען שרייבן ∗ . דער באגריף פון בינארישער אפעראציע האט נישט קיין באדייט אן דעם געזעמל אויף וואס די אפעראציע ווערט דעפינירט. פאר צוויי עלעמענטן ''a'' און ''b'' אין א געזעמל ''S'', איז ''a'' ∗ ''b'' נאך אן עלעמענט אין דעם זעלבן געזעמל; דעם תנאי רופטו מען [[פארשלאסנקייט (מאטעמאטיק)|פארשלאסנקייט]]. [[צוגאב]] (+), [[אראפנעם]] (−), [[טאפלונג|טאפלען]] (×), און [[צעטיילן]] (÷) קענען זיין בינארישע אפעראציעס ווען זיי זענען דעפינירט אויף פארשידענע געזעמלען, ווי אויך צוגאב און טאפלונג פון מאטריצן, וועקטארן און פאלינאמען. | ||
'''[[נייטראלער עלעמענט|נייטראלע עלעמענטן]]''': די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א ''נייטראלן עלעמענט'' פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט ''e'' באפרידיקן ''a'' ∗ ''e'' = ''a'' און ''e'' ∗ ''a'' = ''a'' פאר אלע עלעמענטן ''a'' און איז איינציק, טאמער ער עקזיסטירט. ביי צוגאב האט מען ''a'' + 0 = ''a'' און 0 + ''a'' = ''a'' און ביי טאפלען האט מען ''a'' × 1 = ''a'' און 1 × ''a'' = ''a''. נישט אלע קאמבינאציעס פון געזעמלען און אפעראטארן האבן א נייטראלן עלעמענט; למשל, דאס געזעמל פון פאזיטיווע | '''[[נייטראלער עלעמענט|נייטראלע עלעמענטן]]''': די צאלן נול און איינס ווערן אבסטראקטירט צו שאפן דעם באגריף פון א ''נייטראלן עלעמענט'' פאר אן אפעראציע. נול איז דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב און איינס איז דער נייטראלער עלעמענט פאר טאפלען. פאר אן אלגעמיינעם בינארישן אפעראטאר ∗ דארף דער נייטראלער עלעמענט ''e'' באפרידיקן ''a'' ∗ ''e'' = ''a'' און ''e'' ∗ ''a'' = ''a'' פאר אלע עלעמענטן ''a'' און איז איינציק, טאמער ער עקזיסטירט. ביי צוגאב האט מען ''a'' + 0 = ''a'' און 0 + ''a'' = ''a'' און ביי טאפלען האט מען ''a'' × 1 = ''a'' און 1 × ''a'' = ''a''. נישט אלע קאמבינאציעס פון געזעמלען און אפעראטארן האבן א נייטראלן עלעמענט; למשל, דאס געזעמל פון פאזיטיווע נאטירליכע צאלן (1, 2, 3, ...) האט נישט קיין נייטראלן עלעמענט פאר צוגאב. | ||
'''[[אינווערסער עלעמענט|אינווערסע עלעמענטן]]''': פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון ''אינווערסע עלעמענטן''. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון ''a'' געשריבן −''a'', און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס ''a''<sup>−1</sup>. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט ''a''<sup>−1</sup> באפרידיקט דעם אייגנשאפט ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', וואו ''e'' באצייכענט דעם נייטראלן עלעמענט. | '''[[אינווערסער עלעמענט|אינווערסע עלעמענטן]]''': פון די נעגאטיווע צאלן קומט דער באגריף פון ''אינווערסע עלעמענטן''. פאר צוגאב, ווערט דער אינווערס פון ''a'' געשריבן −''a'', און פאר טאפלען שרייבט מען דעם אינווערס ''a''<sup>−1</sup>. אן אלגעמיינער צוויי־זייטיקער אינווערס עלעמענט ''a''<sup>−1</sup> באפרידיקט דעם אייגנשאפט ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', וואו ''e'' באצייכענט דעם נייטראלן עלעמענט. | ||
| שורה 45: | שורה 46: | ||
=== גרופעס === | === גרופעס === | ||
{{הויפט ארטיקל|גרופע (מאטעמאטיק)}} | {{הויפט ארטיקל|גרופע (מאטעמאטיק)}} | ||
ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די | ווען מען קאמבינירט די אויבנדערמאנטע באגריפן טרעפט איינע פון די וויכטיגסטע סטרוקטורן אין מאטעמאטיק: א [[גרופע (מאטעמאטיק)|גרופע]]. א גרופע איז א קאמיבאציע פון א געזעמל ''S'' מיט אן איינציגער [[בינארישע אפעראציע|בינארישער אפעראציע]] ∗, דעפינירט אין נארוועלכן וועג, מיט אבער די פאלגנדע אייגנשאפטן: | ||
* ס'איז פאראן אין דעם געזעמל א [[נייטראלער עלעמענט|נייטראַלער עלעמענט]] ''e'', וואס פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', ''e'' ∗ ''a'' און ''a'' ∗ ''e'' זענען ביידע גלייך צו ''a''. | * ס'איז פאראן אין דעם געזעמל א [[נייטראלער עלעמענט|נייטראַלער עלעמענט]] ''e'', וואס פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', ''e'' ∗ ''a'' און ''a'' ∗ ''e'' זענען ביידע גלייך צו ''a''. | ||
* יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', איז פאראן א מיטגליד ''a''<sup>−1</sup> אזוי אז ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' זענען ביידע גלייך צום נייטראלן עלעמענט. | * יעדער עלעמענט האט אן אינווערס: פאר יעדן מיטגליד ''a'' פון ''S'', איז פאראן א מיטגליד ''a''<sup>−1</sup> אזוי אז ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> און ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' זענען ביידע גלייך צום נייטראלן עלעמענט. | ||
| שורה 61: | שורה 62: | ||
==רעפערענצן== | ==רעפערענצן== | ||
{{רעפליסטע | {{רעפליסטע | ||
| | |הערות= | ||
<ref name=citeboyer>{{Harvnb|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> | <ref name=citeboyer>{{Harvnb|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> | ||
}} | }} | ||